双曲線と漸近線ではさむ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 双曲線が遠方で近づく直線が漸近線。第 $1$ 象限で $x$ を大きくすると近づくのは、傾きが正の漸近線だ。

漸近線は $y=\pm \frac{b}{a}x$ の $2$ 本。$a=3$、$b=4$ だから $y=\pm \frac{4}{3}x$。

このうち $x>0,y>0$ に伸びるのは傾き正のほう。だから $y=\frac{4}{3}x$ を選ぶ、と見通す。

① 漸近線を求める。 $a=3$、$b=4$ より漸近線は $y=\pm \frac{4}{3}x$。

② なぜ近づくかを確認する。 $x$ が大きいとき、$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の右辺の $1$ は $\frac{x^2}{9}$ に比べて無視でき、$\frac{x^2}{9}\approx \frac{y^2}{16}$、すなわち $y\approx \frac{4}{3}x$。

③ 第 $1$ 象限のほうを選ぶ。 $x>0,y>0$ に伸びるのは傾き正。

$$y=\frac{4}{3}x$$

まとめ:双曲線は遠くへ行くほど漸近線に貼りつく。第 $1$ 象限($x,y$ とも正)へ伸びる枝は、傾きが正の漸近線 $y=\frac{4}{3}x$ に近づく。右辺の $1$ が「効かなくなる」ことが、近づく理由だ。

発展 — 一歩先へ。 漸近線の傾き $\pm \frac{b}{a}$ は、双曲線の「開き方」を決める。$\frac{b}{a}$ が大きいほど枝は急に立ち上がる。

とくに $a=b$ のときは漸近線が $y=\pm x$ となり、$2$ 本が直交する。これを直角双曲線(等軸双曲線)という。

直角双曲線を $45^{\circ }$ 回すと、中学以来おなじみの反比例 $xy=k$ の形になる。反比例のグラフも、じつは漸近線が座標軸に直交した双曲線だったわけだ。

別解

別解 — $y$ を $x$ で表して遠方の様子を調べる(得意な人向けの視点)。 「近づく」を式で確かめるため、第 $1$ 象限の枝を $y$ について解く。

$\frac{y^2}{16}=\frac{x^2}{9}-1=\frac{x^2-9}{9}$ より、$y=\frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}$($x>0,y>0$)。

これを $\frac{4}{3}x$ と比べる。差を有理化すると

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}\left(\sqrt{x^2-9}-x\right)=\frac{4}{3}\cdot \frac{-9}{\sqrt{x^2-9}+x}.$$

$x\to \infty$ で分母が限りなく大きくなるから、この差は $0$ に近づく(しかも負なので、枝は漸近線のわずかに下から迫る)。

よって第 $1$ 象限の枝は $y=\frac{4}{3}x$ に限りなく近づく。公式で漸近線を出す本解と同じ答え。式で見ると「近づく」ようすと、下側から迫ることまで分かる。