双曲線の焦点と漸近線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ は $a^2=9$、$b^2=16$ と読める。

焦点は $(\pm c,0)$ で、双曲線では $c^2=a^2+b^2$(楕円の $a^2-b^2$ と違い和)。

頂点は $x$ 軸との交点 $(\pm a,0)$、漸近線は原点を通る $y=\pm \frac{b}{a}x$。

公式に当てはめるだけ。楕円との符号の違い($c^2=a^2+b^2$)に注意、と見通す。

① $a,b$ を読む。 $a^2=9$ より $a=3$、$b^2=16$ より $b=4$。

② 焦点。 $c^2=a^2+b^2=9+16=25$、$c=5$。焦点は $(\pm 5,0)$。

③ 頂点と漸近線。 頂点は $(\pm a,0)=(\pm 3,0)$。漸近線は

$$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{4}{3}x$$

まとめ:双曲線は「焦点 $c^2=a^2+b^2$(和)、頂点 $(\pm a,0)$、漸近線 $y=\pm \frac{b}{a}x$」。楕円では $c^2=a^2-b^2$ だが双曲線は和になるのが最大の違い。漸近線の傾きは $\pm \frac{b}{a}$。

発展 — 一歩先へ。 漸近線は、双曲線の式の右辺を $0$ にした $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ の表す $2$ 直線。これは $\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0$ と因数分解でき、$y=\pm \frac{b}{a}x$ になる。だから漸近線は覚えなくても導ける。

遠くへ行くほど、右辺の $1$ が $x^2,y^2$ に比べて無視できるようになり、双曲線は漸近線に限りなく近づく。$a\times b$ の長方形の対角線が漸近線、と見ると図で覚えやすい。

焦点の $c^2=a^2+b^2$(和)は、楕円の $c^2=a^2-b^2$(差)と対照的。楕円は閉じ、双曲線は開く。この符号の違いが $2$ 曲線を分ける。

別解

別解 — 右辺を $0$ にして漸近線を出す(得意な人向けの視点)。 漸近線の公式 $y=\pm \frac{b}{a}x$ を暗記しなくても、式の右辺を $0$ に置きかえるだけで出せる。

双曲線 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の右辺 $1$ を $0$ にする。

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=0.$$

左辺は $2$ 乗の差だから因数分解できる。

$$\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\right)\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\right)=0⟹y=\pm \frac{4}{3}x.$$

これが漸近線。焦点は $c^2=a^2+b^2=9+16=25$ より $(\pm 5,0)$、頂点は $(\pm 3,0)$。

漸近線の傾きを $\pm \frac{b}{a}$ と覚える本解と同じ。「右辺を $0$ にすると漸近線」と知っておくと、傾きを $\frac{b}{a}$ か $\frac{a}{b}$ か迷わない。遠方で双曲線が近づく直線が、この因数分解で自然に現れる。