数学C / 平面上の曲線

双曲線の接線と漸近線が作る三角形(面積が一定)

実戦編平面上の曲線双曲線接線漸近線単元横断

問題

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 上の点における接線と、 $2$ 本の漸近線とで囲まれる三角形の面積は、接点によらず一定であることを示し、その値を求めよ。

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接点 $(x_{0}, y_{0})$ の接線と漸近線 $y = \frac{b}{a} x$ 、 $y = - \frac{b}{a} x$ の交点を出す。原点と2交点で三角形。面積の式に接点の関係式 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} - \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1$ を代入。

解答・解説

方針

接点 $(x_{0}, y_{0})$ での接線 $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} - \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ と2漸近線の交点を求め、原点との三角形の面積を計算。 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} - \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1$ を使うと $ab$ になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 接点 $(x_{0}, y_{0})$ での接線 $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} - \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ と、 $2$ 本の漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ の交点を求める。

その $2$ 交点と原点で三角形ができる。面積を計算すると、途中で双曲線の式 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} - \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1$ が効いて、接点 $(x_{0}, y_{0})$ の情報が消える。

残るのは $ab$ 。接点をどこにとっても三角形の面積は $ab$ で一定、という美しい性質だ。

公式双曲線

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

上の点

(x_{0}, y_{0})

での接線

\frac{x _{0} x}{a ^{2}} - \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1

、漸近線

y = \pm \frac{b}{a} x

① 交点を求める。 接線 $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} - \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ に $y = \frac{b}{a} x$ を代入すると $x (\frac{x _{0}}{a ^{2}} - \frac{y _{0}}{ab}) = 1$ 、これを解いて交点 $A$ 。 $y = - \frac{b}{a} x$ で交点 $B$ 。整理すると $A = (\frac{a ^{2} b}{b x _{0} - a y _{0}}, \frac{a b ^{2}}{b x _{0} - a y _{0}}), B = (\frac{a ^{2} b}{b x _{0} + a y _{0}}, \frac{- a b ^{2}}{b x _{0} + a y _{0}}) .$

双曲線(a=2,b=3)の頂点での接線(x=2)と2漸近線 y=±(3/2)x で囲む三角形。面積は接点によらず ab=6。

② 三角形の面積。 原点 $O$ 、 $A$ 、 $B$ の三角形の面積は $\frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣$ 。計算すると $x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} = \frac{a ^{2} b \cdot ( - a b ^{2} ) - a ^{2} b \cdot a b ^{2}}{( b x _{0} ) ^{2} - ( a y _{0} ) ^{2}} = \frac{- 2 a ^{3} b ^{3}}{b ^{2} x _{0}^{2} - a ^{2} y _{0}^{2}} .$ ③ 接点の条件を代入。 分母 $b^{2} x_{0}^{2} - a^{2} y_{0}^{2} = a^{2} b^{2} (\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} - \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}}) = a^{2} b^{2} \cdot 1 = a^{2} b^{2}$ 。よって $面積 = \frac{1}{2} \frac{- 2 a ^{3} b ^{3}}{a ^{2} b ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2 ab = ab .$ 接点 $(x_{0}, y_{0})$ によらず一定で、値は $ab$ 。

まとめ 接線と $2$ 漸近線の交点で三角形を作り、面積の式に接点の条件 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} - \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1$ を代入すると $x_{0}, y_{0}$ が消えて $ab$ 。接点によらず一定。曲線(双曲線)と幾何(面積)の融合。

発展 — 一歩先へ。 面積が一定 $ab$ なのは、双曲線を漸近線方向の座標で見ると反比例 $X Y =$ 一定になるから。反比例 $y = \frac{c}{x}$ の接線が両軸と作る三角形の面積が常に $2 c$ (一定)なのと同じ現象だ。座標軸を漸近線にとりかえると、双曲線の性質が反比例の性質に翻訳される — 斜交座標の威力である。

答

接点 $(x_{0}, y_{0})$ での接線と漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ の交点を求めると、三角形の面積は $ab$ (接点によらず一定)。

別解

別解 — 「接点は $2$ 交点の中点」を先に示す(得意な人向けの視点)。 三角形の面積が一定なことを、接点の位置から捉える。

接線と $2$ 漸近線の交点を $P_{1}, P_{2}$ とすると、じつは接点 $T (x_{0}, y_{0})$ はちょうど線分 $P_{1} P_{2}$ の中点になる(双曲線の接線の性質)。

すると三角形 $OP_{1} P_{2}$ の面積は、 $\frac{1}{2} ∣ OP_{1} \times OP_{2} ∣$ 。 $P_{1} = (\frac{x _{0}}{a} + \frac{y _{0}}{b})^{- 1} \dots$ と計算していくと、漸近線の傾き $\pm \frac{b}{a}$ と双曲線の式 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} - \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1$ が効いて、面積は $ab$ 。

中点性を使うと、 $2$ 交点を対称にとれるので計算が楽になる。「接線が漸近線に挟まれた部分の中点が接点」という事実は、双曲線を漸近線を軸とする座標(反比例 $X Y =$ 一定)に直すと、 $X Y = c$ の接線の中点性そのもの。反比例のグラフ $y = \frac{c}{x}$ の接線が軸と作る三角形の面積が一定( $= 2 c$ )なのと同じ現象だ。

ポイント

接線 $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} - \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ と漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ の交点を出す。
面積の分母に $b^{2} x_{0}^{2} - a^{2} y_{0}^{2} = a^{2} b^{2}$ (接点の条件)。
面積は接点によらず $ab$ 。

よくある間違い

接線の式 $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} - \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ を誤る(接点の座標が分子)。
漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ との交点計算で符号を取り違える。
面積計算の途中で双曲線の式 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} - \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1$ を使わず、 $x_{0}, y_{0}$ が消えない。