数学C / 平面上の曲線

双曲線の焦点と漸近線

★ 基礎双曲線

問題

双曲線 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の焦点と漸近線を求めよ。

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$a^{2}$ と $b^{2}$ を読み取るまでは楕円と同じ。ただし焦点までの距離の作り方が楕円と $1$ か所だけ違う(引くか、足すか)。漸近線の傾きは $a$ と $b$ の比から決まる。

解答・解説

方針

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は左右に開く双曲線。焦点 $(\pm c, 0)$ で $c = a^{2} + b^{2}$ (楕円と違い足す)。漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 双曲線の標準形。

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$

楕円との違いは、マイナスだ。

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1 ⟹ a = 3, b = 4$

焦点の公式は、楕円と符号が逆になる。

$c = a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$

足し算だ!(楕円は引き算だった。)

$焦点 (\pm 5, 0)$

そして、双曲線には楕円にないものがある — 漸近線だ。

$y = \pm \frac{b}{a} x = \pm \frac{4}{3} x$

遠くへ行くと、双曲線はこの $2$ 直線に限りなく近づく。

「楕円は引き算、双曲線は足し算」

この違いを、確実に。 ここが最大の混同ポイントである。

公式双曲線

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

:焦点

(\pm c, 0)

、

c = a^{2} + b^{2}

、漸近線

y = \pm \frac{b}{a} x

① $a, b$ を読む。 $a^{2} = 9$ 、 $b^{2} = 16$ より $a = 3$ 、 $b = 4$ 。

② 焦点。 $c = a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 5$ (双曲線は足す)。焦点 $(\pm 5, 0)$ 。

③ 漸近線。

$y = \pm \frac{b}{a} x = \pm \frac{4}{3} x$

双曲線 x²/9-y²/16=1。焦点(±5,0)、漸近線 y=±(4/3)x

まとめ:双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は左右に開く $2$ 本の枝。焦点は $c = a^{2} + b^{2}$ (楕円は引く、双曲線は足すの違いに注意)。漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ に近づいていく。

発展 — 一歩先へ。 双曲線の定義は、楕円と「 $1$ 文字違い」だ。

楕円: $2$ 焦点からの距離の和が一定

双曲線: $2$ 焦点からの距離の差(の絶対値)が一定

「和」が「差」になっただけ。

その一定値は、 $2 a$ である。

確かめよう。 焦点 $(\pm 5, 0)$ 、 $2 a = 6$ 。

双曲線上の点 $(3, 0)$ (右の頂点)。

$右の焦点まで : ∣3 - 5∣ = 2$ $左の焦点まで : ∣3 - (- 5) ∣ = 8$ $差 : ∣2 - 8∣ = 6 ✓$

点 $(5, \frac{16}{3})$ でも。

$\frac{25}{9} - \frac{256/9}{16} = \frac{25}{9} - \frac{16}{9} = 1 ✓ (双曲線上)$

距離の差を計算すると、やはり $6$ になる ✓

「和が一定 → 閉じた曲線(楕円)」 「差が一定 → 開いた曲線(双曲線)」

この対比が、 $2$ つの曲線の性格を決めている。

そして、この「距離の差」という定義が、実用技術になっている。

双曲線航法(ロラン)。

$2$ つの送信局から、同時に電波を出す。

船が受信すると、 $2$ つの電波には到達時間の差がある。(距離が違うから。)

時間差 $\times$ 光速 $=$ 距離の差。

「 $2$ 局からの距離の差が一定」 — これは、双曲線だ!

船は、その双曲線のどこかにいる。

もう $1$ 組の送信局を使えば、別の双曲線が得られる。

$2$ つの双曲線の交点が、船の現在位置である。

GPS が普及する前、この方式が船舶や航空機の航法に使われていた。

( $1940$ 年代に開発され、 $2010$ 年頃まで現役だった。)

そして、GPS も、原理は同じだ。

GPS は「距離」を測るが、時計の誤差を消すために「距離の差」を使う方式(相対測位)もある。

双曲線の幾何が、位置を教えてくれる。

さらに、双曲線は「反比例」としても現れる。

$y = \frac{1}{x} ⟺ x y = 1$

これは、双曲線を $4 5^{\circ}$ 回転させたものだ。

漸近線は、 $x$ 軸と $y$ 軸。

中学で習った反比例のグラフが、実は双曲線だった。

そして、ボイルの法則( $P V =$ 一定)も、双曲線を描く。

気体の圧力と体積の関係が、双曲線なのだ。

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ という、教科書の双曲線。

その定義(距離の差が一定)が、船の位置を教え、その形(反比例)が、気体の振る舞いを記述している。

答

焦点 $(\pm 5, 0)$ 、漸近線 $y = \pm \frac{4}{3} x$

別解

漸近線が「なぜ $y = \pm \frac{b}{a} x$ なのか」を、極限で確かめる。

双曲線の式を、 $y$ について解く。

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1 ⟹ y^{2} = 16 (\frac{x ^{2}}{9} - 1)$

$y = \pm \frac{4}{3} x^{2} - 9$

この式を、 $x$ が大きいときに近似する。

$x^{2} - 9 \approx x^{2} = x (x が大きいとき)$

なぜなら、 $x = 1000$ なら $x^{2} = 1000000$ に対し、 $9$ は誤差にもならないからだ。

$y \approx \pm \frac{4}{3} x$

漸近線が出てきた ✓

数値で確かめよう。

$x = 10 : y = \frac{4}{3} 91 = 12.72 漸近線 : \frac{4}{3} \times 10 = 13.33$

差は $0.61$ 。まだ離れている。

$x = 100 : y = \frac{4}{3} 9991 = 133.27 漸近線 : 133.33$

差は $0.06$ 。ぐっと近づいた。

$x = 1000 : 差は 0.006$

どんどん漸近線に近づいていく ✓

だが、決して交わらない。

$x^{2} - 9 < x (常に)$

双曲線は、常に漸近線の"内側"にいる。

「近づくが、届かない」 — 漸近線の定義そのものだ。

漸近線を求める、もっと簡単な方法がある。

方程式の右辺を $0$ とおく。

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 0$

因数分解する。

$(\frac{x}{3} - \frac{y}{4}) (\frac{x}{3} + \frac{y}{4}) = 0$

$y = \frac{4}{3} x または y = - \frac{4}{3} x$

漸近線が、一瞬で出た!

なぜ、 $= 0$ とおくと漸近線になるのか。

$x$ 、 $y$ が非常に大きいとき、右辺の $1$ は「誤差」でしかない。

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1 \approx 0 (x, y が巨大なとき)$

巨大な数の世界では、 $1$ は $0$ と変わらない。

この"割り切り"が、漸近線を生む。

この方法は、暗算でできる。 双曲線を見たら、 $= 0$ とおいて因数分解する。

それだけで、漸近線が求まる。

楕円で同じことをすると?

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 0$

これを満たすのは、原点 $(0, 0)$ だけ。 直線にはならない。

「楕円に漸近線がない」理由が、これだ。

プラスの和が $0$ になるには、両方 $0$ しかない。

マイナスがあるからこそ、因数分解でき、漸近線が生まれる。

符号 $1$ つの違いが、曲線の"果て"の姿を、まるごと変えている。

ポイント

双曲線焦点 $c = a^{2} + b^{2}$ (足す)。
漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ 。

よくある間違い

$c = a^{2} - b^{2}$ (楕円の公式)を使ってしまう。双曲線は足し算( $c = a^{2} + b^{2} = 5$ )
漸近線の傾きを $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ としてしまう。傾きは $\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$
漸近線を $1$ 本だけ( $y = \frac{4}{3} x$ )答える。 $\pm$ の $2$ 本ある