数学C / 平面上の曲線

楕円の焦点

★ 基礎楕円

問題

楕円 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の焦点と、長軸・短軸の長さを求めよ。

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分母の $25$ と $16$ がそれぞれ何の $2$ 乗かを、まず書き出そう。長軸・短軸はそこからすぐ分かる。焦点は、 $2$ つの分母を結びつける関係を思い出せれば出せる。

解答・解説

方針

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ( $a > b$ )は横長の楕円。長軸 $2 a$ 、短軸 $2 b$ 、焦点 $(\pm c, 0)$ で $c = a^{2} - b^{2}$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 楕円の標準形。

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$

与式と見比べる。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1 ⟹ a^{2} = 25, b^{2} = 16$

$a = 5, b = 4$

$a > b$ なので、 $x$ 方向に長い(横長)。

長軸は $x$ 方向で、長さ $2 a = 10$ 。 短軸は $y$ 方向で、長さ $2 b = 8$ 。

焦点は、長軸の上にある。 位置は

$c = a^{2} - b^{2} = 25 - 16 = 9 = 3$

$焦点 (\pm 3, 0)$

$c = a^{2} - b^{2}$ — 引き算だ。

(双曲線では足し算になる。混同しないこと。)

$3$ – $4$ – $5$ の直角三角形が、ここにも現れている。

公式楕円

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

(

a > b

):長軸

2 a

、短軸

2 b

、焦点

(\pm c, 0)

、

c = a^{2} - b^{2}

① $a, b$ を読む。 $a^{2} = 25$ 、 $b^{2} = 16$ より $a = 5$ 、 $b = 4$ 。

② 長軸・短軸。 長軸 $2 a = 10$ 、短軸 $2 b = 8$ 。

③ 焦点。 $c = a^{2} - b^{2} = 25 - 16 = 3$ 。焦点 $(\pm 3, 0)$ 。

楕円 x²/25+y²/16=1。焦点(±3,0)、長軸10・短軸8

まとめ:楕円は「 $2$ 焦点からの距離の和が一定( $= 2 a$ )」の曲線。 $a > b$ ( $x$ 側が大)なら横長で焦点は $x$ 軸上。 $c = a^{2} - b^{2}$ ( $a^{2}$ から $b^{2}$ を引く)がポイント。

発展 — 一歩先へ。 楕円の面積は、いくらだろうか。

円( $半径 r$ )の面積は $π r^{2}$ 。

楕円は、円を「横に $a$ 倍、縦に $b$ 倍」引き伸ばしたものだ。

単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ を、 $x$ 方向に $a$ 倍、 $y$ 方向に $b$ 倍する。

$X = a x, Y = b y$

すると

$(\frac{X}{a})^{2} + (\frac{Y}{b})^{2} = 1 ⟹ \frac{X ^{2}}{a ^{2}} + \frac{Y ^{2}}{b ^{2}} = 1$

楕円の方程式になった。

面積は、どうなるか。

横に $a$ 倍すれば、面積は $a$ 倍。縦に $b$ 倍すれば、さらに $b$ 倍。

$S = π \times 1^{2} \times a \times b = π ab$

$楕円の面積 = π ab$

この問題の楕円なら

$S = π \times 5 \times 4 = 20 π$

円の面積( $π r^{2}$ )で、 $a = b = r$ とすれば $π r^{2}$ — つじつまが合う ✓

では、楕円の周の長さは?

円周は $2 π r$ 。楕円の周は、 $2 π ab$ とか、 $π (a + b)$ になりそうな気がする。

ならない。

楕円の周の長さは、初等関数では書けない。

$L = 4 a \int_{0}^{π /2} 1 - e^{2} sin^{2} θ d θ$

この積分は、楕円積分と呼ばれ、初等関数では計算できないことが証明されている。

面積は $π ab$ という美しい式なのに、周の長さは書けない。

この非対称性は、驚くべきことだ。

そして、この「計算できない積分」が、 $19$ 世紀の数学を大きく前進させた。

楕円積分の研究から、楕円関数という新しい関数が生まれた。

その理論は、やがて「楕円曲線」という代数幾何の対象へと発展する。

そして、 $1995$ 年 — ワイルズが、フェルマーの最終定理を証明した。

その証明の中心にあったのが、楕円曲線の理論だった。

( $3$ 世紀半、誰も解けなかった問題が、楕円曲線とモジュラー形式の対応を使って解かれた。)

さらに、楕円曲線は現代の暗号技術にも使われている。

楕円曲線暗号(ECC)。

ビットコインの署名も、スマホの通信の暗号化も、この技術で守られている。

「楕円の周の長さが計算できない」という、 $1$ つの不都合。

そこから、新しい関数が生まれ、新しい幾何が生まれ、 $350$ 年の難問が解かれ、いまあなたの通信を守っている。

数学は、行き詰まりから新しい世界を作る。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ という、ただの楕円。

その周の長さを求めようとした人類が、思いがけない場所にたどり着いた。

答

焦点 $(\pm 3, 0)$ 、長軸 $10$ 、短軸 $8$

別解

楕円の定義 — 「糸と $2$ 本の画鋲」で確かめる。

楕円は、こうやって描ける。

紙に画鋲を $2$ 本刺す。 その $2$ 点に、糸の両端を結ぶ( $2$ 点間の距離より長い糸)。

鉛筆で糸をぴんと張りながら、 $1$ 周させる。

描かれる曲線が、楕円だ。

このとき、鉛筆から $2$ 本の画鋲までの距離の和は、常に糸の長さ(一定)である。

$楕円 = 2 定点 (焦点) からの距離の和が一定な点の集合$

その「一定の和」が、長軸の長さ $2 a$ になる。

確かめよう。

焦点は $(\pm 3, 0)$ 、 $2 a = 10$ 。

楕円上の点で、実際に距離の和を計算する。

点 $(5, 0)$ (右端の頂点)。

$右の焦点まで : ∣5 - 3∣ = 2$ $左の焦点まで : ∣5 - (- 3) ∣ = 8$ $和 : 2 + 8 = 10 ✓$

点 $(0, 4)$ (上端の頂点)。

$右の焦点まで : 3^{2} + 4^{2} = 5$ $左の焦点まで : 3^{2} + 4^{2} = 5$ $和 : 5 + 5 = 10 ✓$

別の点でも試そう。点 $(4, \frac{12}{5})$ 。

$\frac{16}{25} + \frac{144/25}{16} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1 ✓ (楕円上)$

距離の和を計算すると、やはり $10$ になる。

すべての点で、和は $10$ で一定 ✓

「距離の和 $=$ $2 a$ ( $=$ 長軸の長さ)」という定義が、確認できた。

ここで、点 $(0, 4)$ での計算に注目してほしい。

$3^{2} + 4^{2} = 5$

$c = 3$ 、 $b = 4$ 、 $a = 5$ の直角三角形だ!

$a^{2} = b^{2} + c^{2} ⟹ c^{2} = a^{2} - b^{2}$

焦点の公式 $c = a^{2} - b^{2}$ が、この三角形から出てくる。

丸暗記していた公式が、幾何的な意味をもった。

短軸の端点( $0, b$ )から $2$ つの焦点までの距離は、どちらも $a$ 。

「 $b$ 、 $c$ 、 $a$ が直角三角形をなす」

この図を頭に描いておけば、焦点の公式で迷うことはない。

そして、この定義から、楕円の応用も見えてくる。

惑星の軌道は楕円で、太陽は $1$ つの焦点にある(ケプラーの第 $1$ 法則)。

地球から太陽までの距離は、一定ではない。 近日点と遠日点がある。

だが、「 $2$ つの焦点までの距離の和」は、常に一定なのだ。

ポイント

楕円焦点 $(\pm c, 0)$ 、 $c = a^{2} - b^{2}$ 。
長軸 $2 a$ 、短軸 $2 b$ ( $a > b$ )。

よくある間違い

$c = a^{2} + b^{2}$ (足し算)としてしまう。楕円は引き算( $c = a^{2} - b^{2}$ )、双曲線が足し算
長軸の長さを $a = 5$ としてしまう。長軸は $2 a = 10$ (端から端まで)
$a^{2} = 25$ から $a = 25$ としてしまう。 $a = 25 = 5$