数学C / 平面上の曲線

焦点と長軸から楕円を求める

★★ 標準楕円

問題

$2$ つの焦点が $(\pm 3, 0)$ で、長軸の長さが $10$ の楕円の方程式を求めよ。

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求める未知数は $a^{2}$ と $b^{2}$ の $2$ つ。「長軸の長さ」と「焦点の位置」が、それぞれどちらの未知数の情報になるかを整理すれば、順番に決まっていく。

解答・解説

方針

焦点が $x$ 軸上なので横長。長軸 $2 a = 10$ より $a = 5$ 。焦点 $c = 3$ 。 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ で $b^{2}$ を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 楕円の設計図は $a, b, c$ の $3$ つの数。問題文から $2$ つ読み取れば、関係式 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ で残りが決まる。

長軸の長さ $2 a = 10$ → $a = 5$
焦点 $(\pm 3, 0)$ → $c = 3$ ( $x$ 軸上なので横長の楕円)

$b^{2} = 25 - 9 = 16$

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

焦点が $x$ 軸上 → 分母の大きい方が $x^{2}$ に付く、という向きの確認も忘れずに。

公式楕円(横長):

a^{2} = b^{2} + c^{2}

、すなわち

b^{2} = a^{2} - c^{2}

(

c

は焦点距離)

① $a$ を出す。 長軸 $2 a = 10$ より $a = 5$ 、 $a^{2} = 25$ 。

② $b^{2}$ を出す。 焦点 $(\pm 3, 0)$ より $c = 3$ 。楕円は $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 9 = 16$ 。

③ 方程式を書く。 焦点が $x$ 軸上なので $x^{2}$ の分母が大きい( $a^{2}$ )。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

焦点(±3,0)・長軸10 → 楕円 x²/25+y²/16=1

まとめ:楕円を作るには $a$ (長軸の半分)と $c$ (焦点距離)から $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ を出す。焦点が $x$ 軸上なら $x^{2}$ 側の分母が大きい。焦点と長軸が与えられたら、この順で組み立てる。

発展 — 一歩先へ。 $c$ と $a$ の比 $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$ は離心率と呼ばれ、楕円の「つぶれ具合」を表す( $e = 0$ で円、 $1$ に近いほど細長い)。惑星の軌道は太陽を焦点とする楕円(ケプラーの第一法則)で、地球は $e \approx 0.017$ のほぼ円、ハレー彗星は $e \approx 0.97$ の細長い楕円 — 離心率は天文学の実用パラメータだ。

糸とピンの作図は、実際に画鋲 $2$ つと糸で試せる数少ない曲線の定義でもある。定義(距離の和)→ 作図(糸)→ 式( $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ )の三点セットで持っておくと、楕円の問題はどの角度から来ても受けられる。

答

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

別解

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$ という関係式を、糸とピンの絵から取り出してみよう。

楕円は「 $2$ 本のピン(焦点)に長さ $2 a$ の糸を留め、ピンと張ったペン先が描く曲線」— 距離の和が一定 $= 2 a$ 、の実演だ。

ペン先が短軸の端 $(0, b)$ に来た瞬間を見る。左右対称だから、糸は二等分され、片側の長さは $a = 5$ 。このとき「焦点 $(3, 0)$ → 短軸の端 $(0, b)$ 」の糸は、横 $c = 3$ ・縦 $b$ の直角三角形の斜辺になっている。三平方の定理で

$c^{2} + b^{2} = a^{2} ⟺ b^{2} = a^{2} - c^{2} = 16$

$3$ – $4$ – $5$ の直角三角形が楕円の中に隠れていた( $b = 4$ )。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$ は「暗記する式」ではなく「短軸の端で糸を張った三平方」— この絵があれば、双曲線の $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ (符号が逆!)との混同も起きない(あちらは別の三角形から出る別の式だ)。

ポイント

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$ (楕円は引く)。
焦点が $x$ 軸上 → $x^{2}$ の分母が大。

よくある間違い

長軸の長さ $10$ をそのまま $a = 10$ とする( $2 a = 10$ )
楕円なのに $b^{2} = a^{2} + c^{2}$ (双曲線の式)を使う
焦点が $x$ 軸上なのに $y^{2}$ 側の分母を大きくする(向きの取り違え)