楕円と直線の交点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点は直線 $y=x$ の上にしかない。

だから $y=x$ を楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に代入し、$x$ だけの方程式に落とす。

「曲線と直線の交点は、直線の式を曲線に代入して連立」。円のときと同じ発想を、楕円で使う。

① 代入する。 $y=x$ を楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に入れる。

$$\frac{x^2}{4}+x^2=1$$

② $x$ を求める。 左辺は $\frac{x^2}{4}+\frac{4x^2}{4}=\frac{5x^2}{4}$。

$$\frac{5}{4}{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{4}{5}\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$$

③ $y$ を出す。 $y=x$ なので $y$ も同じ値。

$$(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}),(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}})$$

まとめ:曲線と直線の交点は、直線の式($y=x$)を曲線に代入して文字を $1$ つ減らすのが定石。ここは $x^2=\frac{4}{5}$ から $2$ 交点が出る。$y=x$ 上なので $x$ と $y$ は等しく、原点対称の $2$ 点になる。

発展 — 一歩先へ。 $2$ つの交点 $\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ と $\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ は、原点について対称。これは偶然ではない。

原点を通る直線 $y=mx$ を楕円に代入すると、$x^2$ の項だけの偶関数の方程式になり、解は必ず $\pm$ の対になる。原点を通る弦(直径)は、いつも中心で二等分される。

さらに見晴らしよく言えば、楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ は単位円を横に $2$ 倍引き伸ばした図形(縦横で倍率が違う拡大＝アフィン変換であって、相似ではない)。引き伸ばしは中点を保つので、円の直径が楕円の直径にうつり、中心対称がそのまま残る。

別解

別解 — 楕円を媒介変数で表して解く(得意な人向けの視点)。 楕円上の点は $x=2\cos t$、$y=\sin t$ と表せる。この形で直線 $y=x$ に当てはめる。

$y=x$ は $\sin t=2\cos t$、すなわち $\tan t=2$。

$\tan t=2$ のとき、$\cos t=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$、$\sin t=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$(同符号)。したがって

$$x=2\cos t=\pm \frac{2}{\sqrt{5}},y=\sin t=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}.$$

代入して $2$ 次方程式を解く本解と同じ $2$ 点。楕円上の点を角 $t$ で表すと、直線との交点条件が $\tan t=2$ という角の条件に化けるのがおもしろい。