アステロイドの接線の切片

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数の曲線の接線は、傾き $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ から。計算すると $-\tan t$ になる。

接線の方程式を点 $({\cos }^{3}t,{\sin }^{3}t)$ で立てて整理すると、驚くほど単純な切片形 $\frac{x}{\cos t}+\frac{y}{\sin t}=1$ に化ける。

切片は $\mathrm{A}(\cos t,0)$ と $\mathrm{B}(0,\sin t)$。だから ${\mathrm{AB}}^2={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ — 長さ1が、恒等式そのものとして現れる。

① 接線の傾き。

$$\frac{dx}{dt}=-3{\cos }^{2}t\sin t,\frac{dy}{dt}=3{\sin }^{2}t\cos t⟹\frac{dy}{dx}=\frac{3{\sin }^{2}t\cos t}{-3{\cos }^{2}t\sin t}=-\frac{\sin t}{\cos t}$$

② 接線を切片形に整理する。 点 $({\cos }^{3}t,{\sin }^{3}t)$ を通り傾き $-\frac{\sin t}{\cos t}$:

$$y-{\sin }^{3}t=-\frac{\sin t}{\cos t}(x-{\cos }^{3}t)$$

両辺に $\frac{\cos t}{\sin t}$ を掛けて整理すると

$$\frac{x}{\cos t}+\frac{y}{\sin t}={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$$

③ 切片の長さ。 $\mathrm{A}(\cos t,0)$、$\mathrm{B}(0,\sin t)$ だから

$$\mathrm{AB}=\sqrt{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}=1$$

— $\mathrm{P}$ の位置によらず一定である。

まとめ: アステロイドは「長さ1の棒(はしご)が壁と床を滑るときの包絡線」— 接線の切片間の長さが常に1なのは、この曲線の出生証明そのものだ。媒介変数の微分 → 切片形への整理 → 恒等式で締める、と計算の見せ場が3段続く。

発展 — 一歩先へ。 アステロイドの全長は $6$(四分弧が $\frac{3}{2}$)と、曲線の長さとしては珍しく有理数になる。また「半径 $\frac{1}{4}$ の円を半径 $1$ の円の内側で転がした点の軌跡」でもあり(内サイクロイド)、はしごの包絡線と転がり曲線という2つの出自をもつ。円の中で円を転がす歯車の設計(ハイポサイクロイド)の、いちばん美しい特別例だ。

別解

「滑るはしご」の正体を見る(包絡線の逆読み)。 長さ1のはしごが、上端を $y$ 軸、下端を $x$ 軸に置いたまま滑る。下端が $(\cos t,0)$、上端が $(0,\sin t)$ のときのはしごの直線は

$$\frac{x}{\cos t}+\frac{y}{\sin t}=1$$

— 本解で導いた接線とまったく同じ式だ。

実際、点 $({\cos }^{3}t,{\sin }^{3}t)$ はこの直線上にあり(${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$)、直線の傾き $-\tan t$ は曲線の $\frac{dy}{dx}$ と一致する — つまりアステロイドの接線の全体=滑るはしごの位置の全体。アステロイドは、はしごの通過範囲の境界(包絡線)そのものだった。

この正体が見えれば、$\mathrm{AB}=1$ は「はしごの長さは1」というただの前提になる。切片形(本解)の計算が導いた事実の裏に、動くはしごの1枚の絵が隠れていた。