数学C / 平面上の曲線

楕円の方程式を焦点と長軸から決める

★★★★ 難関楕円焦点長軸

問題

$2$ 焦点が $(3, 0)$ 、 $(- 3, 0)$ で、長軸の長さが $10$ である楕円の方程式を求めよ。

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長軸 $2 a = 10$ から $a$ 。焦点 $(\pm c, 0)$ から $c = 3$ 。楕円は $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ 。 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ に代入。

解答・解説

方針

長軸の長さ $2 a = 10$ より $a = 5$ 。焦点が $(\pm c, 0)$ で $c = 3$ 。楕円では $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ 。 $a, b$ を求めて $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ に入れる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 楕円は $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の形で、 $a, b$ が分かれば決まる。

長軸の長さ $2 a$ から $a$ 、焦点の位置 $(\pm c, 0)$ から $c$ が分かる。

楕円の関係式 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ で $b$ が出る。

順に $a \to c \to b$ と埋めていく。焦点が $x$ 軸上なので横長の楕円、と見通す。

公式楕円

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

(

a > b

)の焦点は

(\pm c, 0)

、

c^{2} = a^{2} - b^{2}

。長軸の長さは

2 a

① $a$ を求める。 長軸の長さ $2 a = 10$ より $a = 5$ 、 $a^{2} = 25$ 。

② $b$ を求める。 焦点 $(\pm 3, 0)$ より $c = 3$ 。 $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 9 = 16$ 。

③ 方程式。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

焦点(±3,0)、長軸10の楕円 x²/25+y²/16=1(a=5,b=4)

まとめ:楕円は「 $a$ (長軸の半分)、 $c$ (焦点)、 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ 」で決まる。 $a = 5$ 、 $c = 3$ 、 $b^{2} = 16$ 。焦点が $x$ 軸上だから $a^{2}$ が $x^{2}$ の下(横長)。 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ の関係(円との違い)がカギ。

発展 — 一歩先へ。 関係式 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ には、きれいな図形の意味がある。短軸の端 $(0, b)$ から $2$ 焦点までの距離は、対称性からどちらも等しい。距離の和が $2 a$ だから、それぞれ $a$ 。

すると、焦点 $(c, 0)$ ・原点・短軸端 $(0, b)$ が作る直角三角形で、斜辺 $a$ 、他の $2$ 辺が $b, c$ 。三平方の定理から $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ 、すなわち $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ 。ピタゴラスの定理そのものだ。

双曲線では $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ と、 $a$ と $c$ の役割が入れかわる。楕円は「 $a$ が最長」、双曲線は「 $c$ が最長」。この違いが、 $2$ 曲線の形の違いを生む。

答

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

別解

別解 — 短軸の端から焦点までの距離で $b$ を出す(得意な人向けの視点)。 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ を公式として覚えていなくても、楕円の定義から $b$ を導ける。

長軸から $a = 5$ 、焦点から $c = 3$ はすぐ分かる。短軸の端の点 $(0, b)$ に注目する。

楕円の定義は「 $2$ 焦点からの距離の和が $2 a = 10$ 」。点 $(0, b)$ は左右の焦点から等距離なので、片方までの距離はその半分の $a = 5$ 。焦点 $(3, 0)$ までの距離は $3^{2} + b^{2}$ だから

$9 + b^{2} = 5 ⟹ 9 + b^{2} = 25 ⟹ b^{2} = 16.$

よって $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 。

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$ に代入する本解と同じ。じつはこの計算が、 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ という公式の導出そのもの。短軸端・焦点・原点の直角三角形で、斜辺 $a$ 、脚 $b, c$ の三平方になっている。

ポイント

$2 a = 10$ で $a = 5$ 、 $c = 3$ 、 $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 16$ 。
$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 。

よくある間違い

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$ を $a^{2} + c^{2}$ (双曲線)と取り違える。
長軸の長さ $2 a = 10$ を $a = 10$ としてしまう。
焦点が $x$ 軸上なのに、 $a^{2}$ を $y^{2}$ の下に置く(縦長にしてしまう)。