空間ベクトル — 空間座標・共面条件・球面

空間ベクトル $\vec{a}=(1,2,2)$ の大きさ $|\vec{a}|$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,2,3)$、$\vec{b}=(4,5,6)$ のとき、$\vec{a}+\vec{b}$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,2,3)$、$\vec{b}=(4,5,6)$ のとき、内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,1,0)$、$\vec{b}=(1,0,1)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,2,3)$、$\vec{b}=(2,k,-2)$ が垂直であるとき、定数 $k$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,2,3)$、$\vec{b}=(2,4,k)$ が平行であるとき、定数 $k$ を求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(1,2,3)$、$\mathrm{B}(3,4,5)$ の中点 $\mathrm{M}$ の座標を求めよ。

$3$ 点 $\mathrm{A}(1,2,0)$、$\mathrm{B}(4,2,3)$、$\mathrm{C}(1,5,0)$ を頂点とする三角形の重心 $\mathrm{G}$ の座標を求めよ。

$\vec{a}=(1,2,2)$ と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(0,0,0)$、$\mathrm{B}(1,2,2)$ の間の距離を求めよ。

$\vec{a}=(1,2,3)$、$\vec{b}=(0,1,2)$ のとき、$2\vec{a}-\vec{b}$ を求めよ。

$\vec{a}=(-1,2,-2)$ の大きさ $|\vec{a}|$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,1,1)$、$\vec{b}=(1,1,0)$ のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求めよ。

$\vec{a}=(2,-1,3)$ と $\vec{b}=(1,2,0)$ が垂直であることを確かめよ。また、$\vec{a}$、$\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルの $1$ つを求めよ。

$\vec{a}=(2,3,4)$ を、基本ベクトル $\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)$、$\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)$、$\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)$ の $1$ 次結合で表せ。

$\vec{a}=(1,0,1)$、$\vec{b}=(1,1,0)$ とする。$t$ が実数全体を動くとき、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ を最小にする $t$ の値を求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(1,2,3)$、$\mathrm{B}(7,8,9)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $1:2$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

点 $\mathrm{A}(1,0,0)$ を通り、方向ベクトルが $\vec{d}=(0,1,1)$ である直線上の点 $\mathrm{P}$ を、媒介変数 $t$ で表せ。また $t=2$ に対応する点を求めよ。

中心 $\mathrm{C}(1,2,3)$、半径 $5$ の球面の方程式を求めよ。また、点 $(1,2,8)$ がこの球面上にあるかを調べよ。

$3$ つのベクトル $\vec{a}=(1,0,0)$、$\vec{b}=(0,2,0)$、$\vec{c}=(0,0,3)$ を $3$ 辺とする平行六面体の体積を求めよ。

$\vec{a}=(1,2,2)$、$\vec{b}=(2,0,1)$ のとき、$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ を内積の性質を用いて求めよ。

点 $(2,-1,0)$ が、原点を通り法線ベクトルが $\vec{n}=(1,2,2)$ である平面上にあるかを調べよ。

$3$ 点 $\mathrm{A}(0,0,0)$、$\mathrm{B}(1,1,1)$、$\mathrm{C}(2,2,2)$ が一直線上にあることを示せ。

$\vec{a}=(1,1,0)$ に垂直で、$z$ 成分が $0$ である単位ベクトルを求めよ。

$\vec{a}=(1,0,0)$、$\vec{b}=(1,1,0)$、$\vec{c}=(1,1,1)$ とする。$\vec{d}=(3,2,1)$ を $s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$ の形に表せ。

$\vec{a}=(2,1,2)$、$\vec{b}=(1,1,0)$ とする。$t$ が実数全体を動くとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値を求めよ。

点 $\mathrm{P}(1,2,3)$ と、原点を通り法線ベクトルが $\vec{n}=(1,2,2)$ である平面との距離を求めよ。

$4$ 点 $\mathrm{O}(0,0,0)$、$\mathrm{A}(1,0,0)$、$\mathrm{B}(0,2,0)$、$\mathrm{C}(0,0,3)$ を頂点とする四面体の体積を求めよ。

$\vec{a}=(1,2,2)$、$\vec{b}=(2,2,1)$ のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求めよ。

原点を中心とする半径 $3$ の球面と、$x$ 軸($\vec{p}=(t,0,0)$)との交点の座標を求めよ。

$4$ 点 $\mathrm{O}(0,0,0)$、$\mathrm{A}(1,0,0)$、$\mathrm{B}(0,1,0)$、$\mathrm{P}(2,3,0)$ が同一平面上にあることを、ベクトルを用いて示せ。

$2$ つのベクトル $\vec{a}=(2,0,0)$、$\vec{b}=(0,3,0)$ を $2$ 辺とする平行四辺形の面積を求めよ。

$\vec{a}=(1,2,2)$、$\vec{b}=(2,-1,2)$ のなす角 $\theta$ について、$\cos \theta$ の値を求めよ。

$\vec{a}=(1,1,0)$、$\vec{b}=(0,1,1)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。

点 $\mathrm{P}(1,2,3)$ と平面 $2x-y+2z=3$ の距離を求めよ。

$3$ つのベクトル $\vec{a}=(2,0,0)$、$\vec{b}=(1,3,0)$、$\vec{c}=(1,1,4)$ を $3$ 辺とする平行六面体の体積を求めよ。

点 $(1,0,-1)$ を通り方向ベクトルが $(2,1,2)$ の直線と、平面 $x+y+z=6$ の交点を求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(1,2,3)$、$\mathrm{B}(3,4,5)$ を直径の両端とする球面の中心と半径を求め、その方程式を書け。

$4$ 点 $\mathrm{O}(0,0,0)$、$\mathrm{A}(1,0,0)$、$\mathrm{B}(0,1,0)$、$\mathrm{C}(1,1,t)$ が同一平面上にあるように、実数 $t$ の値を定めよ。

$2$ 直線 ${\ell }_1:(x,y,z)=(1,0,0)+s(1,0,1)$、${\ell }_2:(x,y,z)=(0,1,0)+u(0,1,1)$ のなす角 $\theta$($0°\le \theta \le 90°$)を求めよ。

四面体 $\mathrm{OABC}$ の相対する辺(向かい合う辺)の中点どうしを結ぶ $3$ 本の線分は、$1$ 点で交わり、その点で互いに二等分されることを、位置ベクトルを用いて示せ。

正四面体の隣り合う $2$ つの面がなす角(二面角)を $\theta$ とする。$\cos \theta$ の値を求めよ。

空間の $2$ 直線 $\ell :(x,y,z)=(t,0,0)$、$m:(x,y,z)=(s,s,1)$($t,s$ は実数)の最短距離を求めよ。

$4$ 点 $\mathrm{O}(0,0,0),\mathrm{A}(1,0,0),\mathrm{B}(0,1,0),\mathrm{C}(0,0,1)$ を頂点とする四面体について、体積 $V$ と内接球の半径 $r$ を求めよ。

正四面体 $\mathrm{ABCD}$ の $4$ 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点を、この順に結んでできる四角形は正方形であることを示せ。

正四面体の内部の点 $\mathrm{P}$ から $4$ つの面までの距離の和は、$\mathrm{P}$ の位置によらず一定であることを示し、その値を四面体の高さ $h$ で表せ。

空間の直線が $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha ,\beta ,\gamma$ とする。${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$ を示せ。

また、$\alpha =\beta =60^{\circ }$ のとき $\gamma$ を求めよ。

$4$ 点 $\mathrm{O}(0,0,0),\mathrm{A}(2,0,0),\mathrm{B}(0,2,0),\mathrm{C}(0,0,2)$ を通る球(外接球)の中心と半径を求めよ。

座標空間の1辺1の立方体 $0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1$ を、平面 $x+y+z=\frac{3}{2}$ で切る。

(1) 切り口が正六角形であることを示せ。

(2) 切り口の面積を求めよ。

2点 $\mathrm{A}(1,1,3),\mathrm{B}(3,5,1)$ と、$xy$ 平面($z=0$)上を動く点 $\mathrm{R}$ に対し、$\mathrm{AR}+\mathrm{RB}$ の最小値と、それを与える $\mathrm{R}$ の座標を求めよ。

四面体 $\mathrm{ABCD}$ において、各頂点とその向かい合う面の重心を結ぶ4本の線分を考える。

(1) この4本の線分は1点で交わることを示せ。

(2) その交点は、各線分を頂点の側からどのような比に内分するか。

四面体 $\mathrm{ABCD}$ において、$\mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}$ かつ $\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$ ならば、$\mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}$ であることを示せ。

球面 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$ と平面 $2x+2y+z=21$ が交わってできる円の中心の座標と半径を求めよ。

半径 $\sqrt{3}$ の球に内接する直方体の体積の最大値を求めよ。

平行六面体の1つの頂点から出る3辺のベクトルを $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ とする。

(1) 4本の対角線の長さの平方の和が $4\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2\right)$ に等しいことを示せ。

(2) $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=3$ のとき、その値を求めよ。

4点 $\mathrm{A}(1,1,1),\mathrm{B}(1,-1,-1),\mathrm{C}(-1,1,-1),\mathrm{D}(-1,-1,1)$ を考える。

(1) 四面体 $\mathrm{ABCD}$ は正四面体であり、原点 $\mathrm{O}$ が外接球の中心であることを示せ。

(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{0}$ を確かめ、$\cos \angle \mathrm{AOB}$ を求めよ。