数学C / 空間ベクトル

空間ベクトルの和

★ 基礎ベクトルの和

問題

$a = (1, 2, 3)$ 、 $b = (4, 5, 6)$ のとき、 $a + b$ を求めよ。

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成分ごとに足すだけ。成分が $3$ つに増えても規則は変わらない。

解答・解説

方針

和は成分ごとに足す。 $3$ 成分それぞれ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 空間ベクトルの和も、成分ごとに足すだけだ。

$a + b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)$

$x$ 成分どうし、 $y$ 成分どうし、 $z$ 成分どうし。

$3$ つの方向は、互いに独立している。 縦にどれだけ動いても、横の位置は変わらない。

平面のときと、まったく同じ考え方だ。 成分が $1$ つ増えただけ。

図で見れば、 $a$ の終点に $b$ を継ぎ足したもの。

空間でも、この「継ぎ足し」は変わらない。 ただ、その矢印が奥行き方向にも伸びる、というだけだ。

空間ベクトルの計算で大事なのは、「平面でできたことは、そのまま空間でもできる」と知ることである。

恐れる必要はない。 成分が $1$ つ増えたぶん、書く手間が増えるだけだ。

公式空間ベクトルの和

a + b = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3})

$a + b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)$

a+b の三角形則(空間)。a の終点に b をつなぐと a+b

まとめ:空間でも和は成分ごとに足すだけ。 $3$ 成分になっても計算は同じ。実数倍・差も成分ごと。平面ベクトルの自然な拡張だ。

発展 — 一歩先へ。 「次元 $=$ 基底の本数」という定義は、思わぬところで役に立つ。

色の話をしよう。

人間の目には、 $3$ 種類の錐体細胞がある(赤・緑・青に反応する)。

だから、我々が知覚する色は、 $3$ 次元のベクトルとして表せる。

$色 = R e_{R} + G e_{G} + B e_{B}$

「光の三原色」の正体が、これだ。

テレビもスマホも、赤・緑・青の $3$ つの光だけで、あらゆる色を作り出している。

なぜ $3$ つで足りるのか。 人間の色覚が $3$ 次元だからだ。

もし人間に $4$ 種類目の錐体があれば、 $3$ 原色では足りなかった。

(実際、鳥や一部の昆虫は $4$ 色型の色覚をもつ。彼らにとって、我々のテレビの色は"偽物"に見えているかもしれない。)

同じ話が、音にもある。

音の波形は、 $sin$ と $cos$ の重ね合わせで書けた(フーリエ級数)。

$f (x) = \sum (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)$

この場合、基底は無限個ある。 つまり、音の空間は無限次元だ。

だから、音は色より"豊か"である。 $3$ つの基本音を混ぜても、すべての音は作れない。

(色の場合は、 $3$ つの光を混ぜればすべての色が作れてしまう。)

さて、量子力学では、状態がベクトルとして表される。

電子のスピンは、 $2$ 次元。

$∣ ψ ⟩ = α ∣ ↑ ⟩ + β ∣ ↓ ⟩$

「上向き」と「下向き」の $2$ つの基底で、すべての状態が書ける。

そして、 $α$ と $β$ が「重ね合わせ」の係数になる。

量子コンピュータの $1$ ビット(量子ビット)は、この $2$ 次元ベクトルだ。

$n$ 個の量子ビットなら、 $2^{n}$ 次元。

$300$ 個の量子ビットで、 $2^{300}$ 次元 — 宇宙の全原子の数( $1 0^{80}$ 個)を、はるかに超える。

この途方もない次元の広さが、量子コンピュータの力の源である。

「基底の $1$ 次結合で、すべてを表す」

$a = e_{1} + 2 e_{2} + 3 e_{3}$ という、素朴な分解。

その考え方が、色を作り、音を分解し、量子の世界を記述している。

答

$(5, 7, 9)$

別解

基本ベクトルで分解して、和の意味を確かめる。

空間には、 $3$ 本の"ものさし"がある。

$e_{1} = (1, 0, 0), e_{2} = (0, 1, 0), e_{3} = (0, 0, 1)$

それぞれ、 $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸の正の向きを指す、大きさ $1$ のベクトルだ。

基本ベクトルと呼ばれる。

どんなベクトルも、この $3$ 本の組み合わせで書ける。

$a = (1, 2, 3) = 1 e_{1} + 2 e_{2} + 3 e_{3}$

「 $x$ 方向に $1$ 、 $y$ 方向に $2$ 、 $z$ 方向に $3$ 」 — 成分の意味が、そのまま式になっている。

同様に

$b = 4 e_{1} + 5 e_{2} + 6 e_{3}$

この $2$ つを足そう。

$a + b = (1 + 4) e_{1} + (2 + 5) e_{2} + (3 + 6) e_{3} = 5 e_{1} + 7 e_{2} + 9 e_{3}$

$= (5, 7, 9)$ ✓

「同類項をまとめる」だけの計算だ。

文字式の計算と、まったく同じ。

$(x + 2 y + 3 z) + (4 x + 5 y + 6 z) = 5 x + 7 y + 9 z$

$e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ を $x$ 、 $y$ 、 $z$ という文字だと思えば、ベクトルの計算は文字式の計算そのものになる。

なぜ、同類項どうししかまとめられないのか。

$e_{1}$ と $e_{2}$ は、方向が違う。 混ぜることができない。

「東へ $3$ 」と「北へ $2$ 」を足しても、「 $5$ 」にはならない。 方向が違うからだ。

この「混ざらない」という性質を、 $1$ 次独立という。

$3$ 本の基本ベクトルは、互いに独立で、しかも空間全体を覆う。

$任意のベクトル = a e_{1} + b e_{2} + c e_{3}$

このような組を、基底という。

$3$ 次元空間の基底は、必ず $3$ 本のベクトルからなる。 $2$ 本では足りない( $1$ 枚の平面しか覆えない)。 $4$ 本では多すぎる( $1$ 本は他の $3$ 本で書けてしまう)。

「次元 $=$ 基底の本数」

これが、次元という言葉の、数学的な定義である。

$3$ 次元空間とは、「 $3$ 本の独立なベクトルで、すべてを表せる空間」のことなのだ。

ポイント

和は成分ごとに足す( $3$ 成分)。
平面ベクトルと同じ要領。

よくある間違い

$z$ 成分を足し忘れて、 $2$ 成分だけ答えてしまう。空間ベクトルは $3$ 成分すべてを書く
成分どうしを混ぜて足してしまう( $x$ 成分と $y$ 成分を足すなど)。同じ位置の成分どうしを足す
和の大きさを $∣ a ∣ + ∣ b ∣$ だと思う。 $∣ a + b ∣$ は、和のベクトルの成分から計算し直す