数学C / 空間ベクトル

平行四辺形の面積(外積)

★★★ 応用面積外積

問題

$2$ つのベクトル $a = (2, 0, 0)$ 、 $b = (0, 3, 0)$ を $2$ 辺とする平行四辺形の面積を求めよ。

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$2$ つのベクトルが直交していることに、まず気づく。直交する $2$ 辺の平行四辺形は長方形 — 面積はただの掛け算。

解答・解説

$2$ ベクトルが作る平行四辺形の面積は $∣ a \times b ∣$ (外積の大きさ)、または $∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ 。 $a ⊥ b$ なので底辺 × 高さでもよい。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ ベクトルが張る平行四辺形の面積は、外積の大きさ $∣ a \times b ∣$ で出せる。

外積を組み立てなくても、 $∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ という形でも同じ面積が出る。

「面積へは $2$ 本の道がある」と構えて、計算しやすい方を選べばよい。

公式平行四辺形の面積

= ∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}

① 外積を求める。 $a \times b$ の成分は

$a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) = (0, 0, 2 \cdot 3 - 0) = (0, 0, 6)$

② 大きさ(= 面積)を求める。

$∣ a \times b ∣ = 0 + 0 + 36 = 6$

(別解: $a \cdot b = 0$ (垂直)なので面積 $= ∣ a ∣∣ b ∣ = 2 \times 3 = 6$ 。)

a=(2,0,0), b=(0,3,0) が張る平行四辺形は xy平面上の長方形(2×3)。面積=|a×b|=6

まとめ:空間の平行四辺形の面積は「外積の大きさ $∣ a \times b ∣$ 」。外積は $2$ ベクトルに垂直で、大きさが平行四辺形の面積になるベクトル。 $a ⊥ b$ なら単純に $∣ a ∣∣ b ∣$ でも同じ。三角形ならこの半分だ。

発展 — 一歩先へ。 平行四辺形の面積は $∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ とも書ける( $θ$ は $2$ 辺のなす角)。内積が $cos θ$ を、外積が $sin θ$ を取り出している、と見るとよい。

辺の長さ $∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 3$ を固定したまま角 $θ$ だけ変えると、面積は $sin θ$ に比例する。 $θ = 90°$ で $sin θ = 1$ となり、面積は最大の $2 \times 3 = 6$ 。いまはちょうど直角なので、この最大値を取っている。

逆に $2$ 辺が平行( $θ = 0°$ )へ近づくと $sin θ \to 0$ で、平行四辺形はぺしゃんこにつぶれ、面積は $0$ になる。同じ長さの $2$ 辺でも、直角のときいちばん広く、平行に近いほど狭い。面積は「開き具合」 $sin θ$ が握っている。

答

$6$

別解 — 図形として見て長方形の面積で出す(苦手な人向けの視覚ルート)。 公式に入れる前に、 $2$ つのベクトルがどんな図形を張るかを見る。

$a = (2, 0, 0)$ は $x$ 軸方向に長さ $2$ 、 $b = (0, 3, 0)$ は $y$ 軸方向に長さ $3$ の矢印だ。

内積は $a \cdot b = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 0$ 。つまり $2$ 辺は垂直に交わる。

垂直な $2$ 辺が張る平行四辺形は、ただの長方形。面積は縦 $\times$ 横で

$2 \times 3 = 6.$

外積 $(0, 0, 6)$ の大きさで出す本解と同じ $6$ 。成分に $0$ が並ぶベクトルは軸に沿った矢印なので、まず絵にすると、公式を使うまでもなく図形の面積として読めることがある。斜めに交わる一般の場合は本解の外積(または $∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ )に戻ればよい。