4点が同一平面上にある条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\mathrm{O}$ を基準にすると、$4$ 点が同一平面上にある条件は「$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ が $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の張る平面上にある」。

これは $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+u\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と表せる、ということ。

成分ごとに比較すると、$t$ の条件が出る。

スカラー三重積 $=0$ を使ってもよい、と見通す。

① $1$ 次結合で表す。 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+u\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおくと、$(1,1,t)=s(1,0,0)+u(0,1,0)=(s,u,0)$。

② 成分比較する。

• $x$:$s=1$
• $y$:$u=1$
• $z$:$t=0$

$z$ 成分の比較から、同一平面上にあるには $t=0$。

(スカラー三重積で確認:$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{OB}}\times \overrightarrow{\mathrm{OC}})=(1,0,0)\cdot ((0,1,0)\times (1,1,t))$。$(0,1,0)\times (1,1,t)=(1\cdot t-0\cdot 1,0\cdot 1-0\cdot t,0\cdot 1-1\cdot 1)=(t,0,-1)$。内積 $=1\cdot t=t$。$=0$ より $t=0$。)

まとめ:$4$ 点の共面は「$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の $1$ 次結合に」。$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ は $z=0$ 平面内なので、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ も $z$ 成分 $0$、すなわち $t=0$。三重積 $=t=0$ でも同じ。

発展 — 一歩先へ。 「$4$ 点が同一平面上」「$3$ ベクトルが $1$ 次従属」「スカラー三重積 $=0$」「$3$ ベクトルを並べた行列式 $=0$」——これらはすべて同じことの言いかえ。

三重積 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{OB}}\times \overrightarrow{\mathrm{OC}})$ は、$3$ ベクトルが作る平行六面体の体積(符号つき)。体積が $0$ とは、立体がぺしゃんこ($3$ ベクトルが同一平面上)ということ。

今回は $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ が $z=0$ 平面内にあるので、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ も $z$ 成分 $0$、つまり $t=0$ が条件。三重積を計算しても $t=0$。「体積 $0$」という幾何が、行列式の代数で測れる。

別解

別解 — スカラー三重積 $=0$ で決める(得意な人向けの視点)。 $1$ 次結合の成分比較のかわりに、「体積 $0$」を表すスカラー三重積を直接 $0$ とおいてもよい。

$4$ 点が同一平面上 $⟺$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}},\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ が作る平行六面体の体積 $0$ $⟺$

$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{OB}}\times \overrightarrow{\mathrm{OC}})=0.$$

まず外積を計算する。$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\times \overrightarrow{\mathrm{OC}}=(0,1,0)\times (1,1,t)=(1\cdot t-0\cdot 1,0\cdot 1-0\cdot t,0\cdot 1-1\cdot 1)=(t,0,-1)$。

これと $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,0,0)$ の内積は

$$(1,0,0)\cdot (t,0,-1)=t.$$

三重積 $=t=0$ より $t=0$。

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ を $1$ 次結合で表して成分比較する本解と同じ。三重積は $3$ ベクトルの作る体積そのもので、それが $0$(ぺしゃんこ)なら同一平面上。成分比較より計算は $1$ 本で済む。