空間ベクトルの大きさ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平面のときと、公式はほとんど同じだ。

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

成分が $1$ つ増えただけ。

$$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

答えは $3$。きれいな整数だ。

この式が、なぜ成り立つのか。

平面では、三平方の定理($1$ 回)だった。

空間では、三平方の定理を $2$ 回使う。

$1$ 回目: 底面($xy$ 平面)での対角線。$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

$2$ 回目: その対角線と、高さ $2$ で作る直角三角形。$\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2+2^2}=3$

「三平方を $2$ 回」 — これが、$3$ 次元の距離の正体だ。

そして、この構造は $4$ 次元でも、$100$ 次元でも同じように続いていく。

$3$ 成分の $2$ 乗の和の平方根。

$$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

まとめ:空間ベクトルの大きさは、平面の公式に $z$ 成分を足すだけ。$\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$。$(1,2,2)$ は大きさ $3$($1$-$2$-$2$-$3$ の関係)。空間版の三平方の定理だ。

発展 — 一歩先へ。 $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ という式は、$3$ 次元に限らない。

$n$ 次元の距離。

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}$$

この式は、次元がいくつでも意味をもつ。

そして、高次元には奇妙な現象が待っている。

単位立方体の対角線を考えよう。

$1$ 辺の長さが $1$ の立方体、その対角線の長さは?

$2$ 次元(正方形): $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx 1.41$

$3$ 次元(立方体): $\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\approx 1.73$

$4$ 次元: $\sqrt{4}=2$

$100$ 次元: $\sqrt{100}=10$

$10000$ 次元: $\sqrt{10000}=100$

辺の長さは $1$ のままなのに、対角線は $\sqrt{n}$ でどんどん伸びていく!

$10000$ 次元の単位立方体では、$1$ 辺 $1$ なのに、対角線は $100$。

「箱の中に、辺の $100$ 倍の長さの棒が入る」

直感が完全に破綻する。

もっと不思議な話もある。

$n$ 次元の単位球(半径 $1$ の球)の体積は、$n$ が大きくなるとどうなるか。

「次元が増えるほど、球は大きくなる」と思うだろうか。

逆だ。

$$V_2=\pi \approx 3.14$$ $$V_3=\frac{4}{3}\pi \approx 4.19$$ $$V_5\approx 5.26(\text{最大})$$ $$V_{10}\approx 2.55$$ $$V_{20}\approx 0.026$$ $$V_{100}\approx 10^{-40}$$

$5$ 次元でピークを迎え、その後は $0$ に向かって減っていく。

$100$ 次元の単位球の体積は、ほとんどゼロ。

なぜか。

高次元では、球の体積のほとんどが「表面近く」に集中してしまうからだ。

「中身がスカスカで、皮だけの球」 — それが高次元の球の姿である。

この事実は、機械学習で深刻な問題を引き起こす。

高次元のデータ空間では、「近い」という概念が意味を失う。

すべてのデータ点が、互いにほぼ同じ距離にあり、球の"表面"に張りついている。

次元の呪いと呼ばれる現象だ。

$|(1,2,2)|=3$ という、素朴な計算。

その式を、そのまま高次元へ持っていくと — 我々の直感が通用しない、奇妙な世界が広がっている。

数学の恐ろしさと面白さは、こういうところにある。

別解

直方体の対角線として、目で見て納得する。

$\vec{a}=(1,2,2)$ を、直方体の対角線と見よう。

縦 $1$、横 $2$、高さ $2$ の箱を考える。 原点から、対角の頂点 $(1,2,2)$ へ引いた線。それが $\vec{a}$ だ。

この対角線の長さを、$2$ 段階で求める。

第 $1$ 段階: 床の対角線。

箱の底面($xy$ 平面上)は、縦 $1$、横 $2$ の長方形。

その対角線は、三平方の定理より

$$\ell =\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$

第 $2$ 段階: 立体の対角線。

いま求めた床の対角線($\sqrt{5}$)と、高さ($2$)は、垂直だ。

この $2$ つを $2$ 辺とする直角三角形を考える。 斜辺が、求める対角線。

$$|\vec{a}|=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2+2^2}=\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3$$

本解と同じ ✓

三平方の定理を、$2$ 回使った。

そして、$1$ 回目の結果 $\sqrt{5}$ を $2$ 乗すると、$5$ に戻る($1^2+2^2$)。

だから、結局こう書ける。

$$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}$$

公式の $3$ つの $2$ 乗和は、「三平方を $2$ 回使った」ことの記録だったのだ。

この構造は、次元を上げても続く。

$4$ 次元なら、三平方を $3$ 回。

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2}$$

$n$ 次元なら、$n-1$ 回。

「新しい次元を足すたびに、$2$ 乗を $1$ つ足す」

この単純な規則で、どんな高次元でも距離が測れる。

さて、答えが $3$ という整数になったのは、幸運だ。

空間版のピタゴラス数は、平面ほど有名ではないが、確かに存在する。

$$1^2+2^2+2^2=3^2(1+4+4=9)$$ $$2^2+3^2+6^2=7^2(4+9+36=49)$$ $$1^2+4^2+8^2=9^2(1+16+64=81)$$

$(1,2,2)$ と $(2,3,6)$ は、覚えておくと計算が楽になる。

問題を作る人は、たいていこの組み合わせを使う。