空間で垂直なベクトルの作成

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 条件は $3$ つ — $\vec{a}$ に垂直、$z$ 成分が $0$、長さ $1$。

$z=0$ の条件が効いて、探すベクトルは $(x,y,0)$ の形 — 実質 $xy$ 平面の中の $2$ 次元の問題に落ちる。

$\vec{a}=(1,1,0)$ も $xy$ 平面内だから、平面で鍛えた技がそのまま使える: $(1,1)$ に垂直なのは成分を入れ替えて符号反転した $(1,-1)$。長さ $\sqrt{2}$ で割って

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\text{と、その逆向き}$$

① 条件を書く。 求めるベクトルを $(x,y,0)$($z=0$)とする。$\vec{a}$ と垂直:$\vec{a}\cdot (x,y,0)=x+y=0$。よって $y=-x$。

② 垂直なベクトルを作る。 $x=1$ とすると $(1,-1,0)$。確認:$\vec{a}\cdot (1,-1,0)=1-1+0=0$。

③ 単位ベクトルにする。 $|(1,-1,0)|=\sqrt{2}$ で割る。

$$(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0),(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)$$

まとめ:「垂直 + 条件($z=0$)」は、内積 $=0$ と条件を連立。$z=0$ なので実質 $xy$ 平面の問題になり、$(1,1)$ に垂直な $(1,-1)$ を作る。大きさで割り、反対向きも答え。

発展 — 一歩先へ。 $\vec{a}=(1,1,0)$ に垂直なベクトル全体(自由度 $2$ の平面)から、今回の答えのほかに $z$ 軸方向 $(0,0,1)$ も見つかる。実は答えの $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ と $(0,0,1)$ の $2$ 本が、その垂直平面を張る物差し(正規直交基底)になっている — $\vec{a}$ と合わせて $3$ 本で、空間の傾いた座標系一式の完成だ。

「条件 $1$ つで自由度 $-1$」の勘定は、方程式の本数と図形の次元の関係(直線 $=$ 平面 $2$ 枚)と同じもの。ベクトルの問題でも図形の問題でも、まず自由度を数えると解の個数の見通しが立つ。

別解

「なぜ答えが $2$ 本しかないのか」— 自由度の勘定で状況を見渡してみよう。

空間のベクトルの自由度は $3$($x,y,z$ を選べる)。条件を $1$ つ課すごとに自由度は $1$ ずつ減る。

• 「$\vec{a}$ に垂直」($\vec{a}\cdot \vec{u}=0$): 自由度 $3\to 2$ — 垂直なベクトルは平面 $1$ 枚分ある
• 「$z=0$」: $2\to 1$ — 向きが $1$ 本の直線方向に絞られる
• 「長さ $1$」: $1\to 0$ — その直線上で $\pm$ の $2$ 点だけが残る

$3$ 条件で自由度を使い切り、答えは有限個($\pm$ の $2$ 本)— 勘定と結果が合う。

もし「$z=0$」の条件がなかったら?自由度が $1$ 残り、答えは単位円 $1$ 周分($\vec{a}$ に垂直な平面内の全方向)— 無数にある。空間で「垂直な単位ベクトルを求めよ」と言われたら条件の数を数える — 答えが $2$ 本か、円周分か、問題の設定が先に教えてくれる。