空間の中点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 中点は、$2$ 点の平均だ。

$$\mathrm{M}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}$$

座標ごとに、平均をとる。

$$x=\frac{1+3}{2}=2,y=\frac{2+4}{2}=3,z=\frac{3+5}{2}=4$$

$$\mathrm{M}(2,3,4)$$

平面のときと、何も変わらない。 座標が $1$ つ増えただけだ。

中点は、内分点の特別な場合($1:1$ の内分)である。

$$\frac{1\cdot \mathrm{A}+1\cdot \mathrm{B}}{1+1}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}$$

比が $1:1$ なので、重みも等しい。 だから単純平均になる。

内分点の公式にあった"ねじれ"(重みが反対側につく)も、中点では気にする必要がない。

左右対称だから、どちらに重みをつけても同じである。

$$\mathrm{M}=\frac{(1,2,3)+(3,4,5)}{2}=\frac{(4,6,8)}{2}=(2,3,4)$$

まとめ:空間の中点も「$2$ 点の平均」。$x$、$y$、$z$ それぞれの平均をとるだけ。平面の中点公式に $z$ 座標が加わっただけだ。

発展 — 一歩先へ。 「$2$ 点から等距離の点の集合」を考えてみよう。

平面($2$ 次元)では、それは直線だった。 線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線である。

空間($3$ 次元)では?

$1$ 枚の平面になる。 垂直二等分面という。

なぜ、次元が $1$ つ上がると、直線が平面になるのか。

「$\mathrm{A}$ から等距離」という条件は、$1$ つの方程式を与える。

$$(x-a_1{)}^2+(y-a_2{)}^2+(z-a_3{)}^2=(x-b_1{)}^2+(y-b_2{)}^2+(z-b_3{)}^2$$

展開すると、$2$ 乗の項が打ち消し合って、$1$ 次方程式になる。

$$2(b_1-a_1)x+2(b_2-a_2)y+2(b_3-a_3)z=(\text{定数})$$

$3$ 次元の $1$ 次方程式 — これは平面の方程式だ。

そして、係数 $(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ が、法線ベクトルになっている。

「$\mathrm{AB}$ に垂直な平面」 — 確かに、垂直二等分面だ。

この問題で計算してみよう。

$\mathrm{A}(1,2,3)$、$\mathrm{B}(3,4,5)$ の垂直二等分面は、法線 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,2,2)$、中点 $(2,3,4)$ を通る平面。

$$2(x-2)+2(y-3)+2(z-4)=0$$

$$x+y+z=9$$

確かめる。 中点 $(2,3,4)$ を代入すると $2+3+4=9$ ✓

この平面上のどの点も、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ から等距離になる。

試しに $(9,0,0)$(平面上の点)で確かめよう。

$$\mathrm{A}\text{ からの距離}:\sqrt{64+4+9}=\sqrt{77}$$ $$\mathrm{B}\text{ からの距離}:\sqrt{36+16+25}=\sqrt{77}✓$$

等しい!

この「等距離の集合」という考え方は、いろいろな図形を生む。

• $1$ 点から等距離 → 球面
• $2$ 点から等距離 → 平面(垂直二等分面)
• $1$ 点と $1$ 平面から等距離 → 放物面
• $2$ 点からの距離の和が一定 → 回転楕円体
• $2$ 点からの距離の比が一定 → アポロニウスの球

「距離の条件」から、図形が生まれる。

これが、解析幾何の基本的な発想だ。

さらに、この発想はコンピュータで図形を扱うときに使われる。

ボロノイ図。

平面上に、いくつかの点(母点)を配置する。 各点について、「その点にいちばん近い領域」を塗り分ける。

境界線は、$2$ 点の垂直二等分線になる。

この図は、地図の勢力圏(最寄りのコンビニはどこか)、生態学の縄張り、材料科学の結晶構造など、あらゆる分野で使われている。

「中点」という、単純な概念。

そこから垂直二等分面が生まれ、空間の分割が生まれる。

別解

答えが正しいことを、距離で検算する。

中点なら、$\mathrm{A}$ からも $\mathrm{B}$ からも、同じ距離にあるはずだ。

$$\mathrm{AM}=\mathrm{MB}$$

計算して確かめよう。

$$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)$$

$$\mathrm{AM}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$$

$$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=(3-2,4-3,5-4)=(1,1,1)$$

$$\mathrm{MB}=\sqrt{3}$$

$\mathrm{AM}=\mathrm{MB}=\sqrt{3}$ ✓

等しい。中点であることが確認できた。

さらに、$\mathrm{AB}$ の長さも計算してみよう。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,2,2),\mathrm{AB}=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$$

$$\mathrm{AM}+\mathrm{MB}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}=\mathrm{AB}✓$$

足すと、ちょうど $\mathrm{AB}$ になる。

これは、$\mathrm{M}$ が線分 $\mathrm{AB}$ の上にある、ということの証拠だ。

(もし $\mathrm{M}$ が線分から外れていたら、三角不等式により $\mathrm{AM}+\mathrm{MB}>\mathrm{AB}$ になる。)

「距離が等しい」だけでは、中点とは言えない。

$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ から等距離の点は、無数にある — その全体は、$\mathrm{AB}$ の垂直二等分面という平面をなす。

中点であるためには、さらに「線分 $\mathrm{AB}$ 上にある」ことが必要だ。

その確認が、$\mathrm{AM}+\mathrm{MB}=\mathrm{AB}$ という等式である。

$2$ つの条件を、両方確かめて、初めて「中点」と言える。

この「$2$ 段階の検算」は、答案の質を上げる。

そして、$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}=(1,1,1)$ という結果に、注目してほしい。

同じベクトルだ。

$\mathrm{A}$ から $\mathrm{M}$ への移動と、$\mathrm{M}$ から $\mathrm{B}$ への移動が、まったく同じ。

これこそが、中点の本質である。

$$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$$

この式を解いても、中点の公式が出る。

$$\mathrm{M}-\mathrm{A}=\mathrm{B}-\mathrm{M}⟹2\mathrm{M}=\mathrm{A}+\mathrm{B}⟹\mathrm{M}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}$$

「等しい移動を $2$ 回」という定義から、平均の式が導かれた。

公式を覚えるより、この式の意味を掴んでおくほうが、応用が効く。