空間ベクトルの大きさの最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $|\vec{a}+t\vec{b}|$ そのものは、根号がついていて扱いにくい。そこで $2$ 乗した $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ を考える。

これは $t$ の $2$ 次関数になる。平方完成で最小値を出し、最後に平方根をとればよい。

「大きさの最小は、$2$ 乗の最小を求めてから平方根」という流れは、平面ベクトルのときと同じ。空間でも変わらない。

① 各量を求める。 $|\vec{b}{|}^2=1+1+0=2$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 1+2\cdot 0=3$、$|\vec{a}{|}^2=4+1+4=9$。

② $t$ の $2$ 次関数にする。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=2t^2+2\cdot 3\cdot t+9=2t^2+6t+9$$

③ 平方完成する。

$$2t^2+6t+9=2(t+\frac{3}{2}{)}^2+9-\frac{9}{2}=2(t+\frac{3}{2}{)}^2+\frac{9}{2}$$

最小値 $\frac{9}{2}$($t=-\frac{3}{2}$ のとき)。

④ 平方根をとる。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}_{\min }=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

まとめ:大きさの最小は「$2$ 乗の最小 → 平方根」。$|{|}^2$ が $t$ の $2$ 次関数になるので平方完成。最小値 $\frac{9}{2}$ のルートを有理化して $\frac{3\sqrt{2}}{2}$。これは点 $-\vec{a}$ の終点から直線 $t\vec{b}$ への最短距離だ。

発展 — 一歩先へ。 $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{b}{|}^2{t}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b})t+|\vec{a}{|}^2$ は、$t$ のどんな値でも $0$ 以上。長さの $2$ 乗だから当然だ。

「$t$ の $2$ 次式がつねに $0$ 以上」ということは、判別式が $0$ 以下ということ。式で書くと $(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2\le |\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2$、すなわち $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$。これはコーシー・シュワルツの不等式そのものだ。

しかも最小値 $|\vec{a}{|}^2-\frac{(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}{|\vec{b}{|}^2}$ が $0$ になるのは $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行なとき。最小の長さがちょうど $0$、つまり直線が原点を通る場合にあたる。$1$ つの $2$ 次関数の中に、不等式と幾何が同居している。

別解

別解 — 垂線の足として幾何的に見る(得意な人向けの視点)。 $\vec{a}+t\vec{b}$ は、始点 $\vec{a}$ から向き $\vec{b}$ に伸びる直線上の点。その原点からの距離 $|\vec{a}+t\vec{b}|$ が最小になるのは、この直線へ原点から垂線をおろした足のときだ。

垂線の足では、$\vec{a}+t\vec{b}$ が方向 $\vec{b}$ と垂直になる。内積 $=0$ から

$$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=3+2t=0⟹t=-\frac{3}{2}.$$

このとき $\vec{a}$ を「$\vec{b}$ 方向の成分」と「$\vec{b}$ に垂直な成分」に分けると、最小の長さは垂直成分の長さ。三平方の定理から

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}_{\min }^2=|\vec{a}{|}^2-\frac{(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}{|\vec{b}{|}^2}=9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}.$$

平方根をとって $\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。平方完成する本解と同じ答え。$2$ 次関数の最小が、じつは「点から直線への最短距離」だと見えると、$t=-\frac{3}{2}$ の意味もはっきりする。