立方体の正六角形の切り口

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 切り口の頂点は、平面と立方体の辺との交点だ。立方体の辺の上では、3座標のうち2つが $0$ か $1$ に固定される。

だから各辺について、$x+y+z=\frac{3}{2}$ を満たす点があるかは「残り1座標が $[0,1]$ に収まるか」の機械的な判定で決まる。数えると、交点はちょうど6本の辺の中点になる。

あとは6点を順に結び、辺の長さと内角(となり合う辺ベクトルの内積)を計算すれば、「正六角形」が数値で確定する。

① 交点を洗い出す((1)前半)。 辺の固定2座標の和は $0,1,2$ のいずれか。交点の残り座標は $\frac{3}{2}-(\text{和})$ で、辺上($0$ 以上 $1$ 以下)にあるのは和が $1$ のときの $\frac{1}{2}$ のみ。固定2座標が $(0,1)$ 型の辺は12本中6本あり、交点は

$$\left(1,\frac{1}{2},0\right),\left(\frac{1}{2},1,0\right),\left(0,1,\frac{1}{2}\right),\left(0,\frac{1}{2},1\right),\left(\frac{1}{2},0,1\right),\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$$

— 6本の辺の中点である(この順で隣り合う2点は立方体の同じ面の上にあり、切り口はこの順の六角形)。

② 正六角形であること((1)後半)。 隣り合う2点の差はどれも $\left(\pm \frac{1}{2},\mp \frac{1}{2},0\right)$ の並べ替えの形で、長さはすべて

$$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

また隣り合う辺のベクトルの内積はどれも $-\frac{1}{4}$ で、$\cos \theta =\frac{-1/4}{1/2}=-\frac{1}{2}$、内角はすべて $120^{\circ }$。辺も角もすべて等しいから正六角形である。

③ 面積((2))。 1辺 $s=\frac{\sqrt{2}}{2}$ の正六角形の面積は $\frac{3\sqrt{3}}{2}{s}^2$ だから

$$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

まとめ: 「断面は辺との交点の全数調査」— 立方体では座標の固定パターンで交点が代数的に拾える。中心 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ を通る対角線 $(1,1,1)$ 方向に垂直な切り口が正六角形になる、という立体の名場面を、ベクトルの計算だけで確定させる問題だ。

発展 — 一歩先へ。 平面 $x+y+z=c$ を $0$ から $3$ まで動かすと、切り口は点→正三角形→六角形→正三角形→点と変化し、正六角形になるのは中心を通る $c=\frac{3}{2}$ の一瞬だけ。この「立方体を体対角線に垂直に切ると正六角形」は、宝石のカットや結晶の断面にも現れる形で、切り口の面積もこのとき最大になる。

別解

対称性で「正」を言い当てる(計算を検算に回す)。 辺長と内角を測る前に、この切り口が持つ対称性を見よう。

平面 $x+y+z=\frac{3}{2}$ は立方体の中心 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ を通り、法線 $(1,1,1)$ は体対角線の方向だ。

• 120°回転対称: 座標の巡回 $(x,y,z)\mapsto (z,x,y)$ は立方体を保ち、$x+y+z$ を変えない(=体対角線まわりの120°回転)。切り口はこの回転で自分に重なる。
• 点対称: 中心対称 $(x,y,z)\mapsto (1-x,1-y,1-z)$ も立方体と平面を保つ(座標和は $3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$)。

120°回転対称な六角形は、辺が $a,b,a,b,a,b$ と交互になり得るまでが限界。だが点対称(180°)も併せ持つと、$a=b$ が強制されて回転対称は60°に上がる — 内角も辺もすべて等しい正六角形しかありえない。

面積は正六角形の公式で $\frac{3\sqrt{3}}{2}{s}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。対称性が「正」を先に保証し、計算(辺長 $\frac{\sqrt{2}}{2}$)は検算になる — 対称図形の議論のお手本の型だ。