空間ベクトルの内積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 空間の内積も、成分どうしを掛けて足すだけだ。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

項が $1$ つ増えただけ。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 4+2\times 5+3\times 6=4+10+18=32$$

答えは $32$。 ベクトルではなく、ただの数だ。

平面と空間で、内積の意味も変わらない。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$

$2$ つのベクトルが「どれくらい同じ方向を向いているか」を測る。

そして、この $2$ つの表現から、空間でも角度が求まる。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

空間は図に描きにくい。 だが、内積の計算に、図は要らない。

「見えないものを、計算で捉える」 — ここに、ベクトルの真価がある。

成分どうしをかけて足す($3$ 成分分)。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=4+10+18=32$$

まとめ:空間の内積も「成分どうしの積の和」。$z$ 成分の積が加わるだけ。結果は数(スカラー)。なす角・垂直の判定に使う、平面と同じ役割だ。

発展 — 一歩先へ。 空間には、平面にはなかった、もう $1$ つの"掛け算"がある。

外積(ベクトル積)だ。

$$\vec{a}\times \vec{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$

内積と、まるで性格が違う。

外積の $2$ つの重要な性質。

性質 $1$: 外積は、元の $2$ ベクトルの両方に垂直。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る平面に、垂直な方向を向く。

確かめよう。 $\vec{a}=(1,0,0)$、$\vec{b}=(0,1,0)$($x$ 軸と $y$ 軸)なら

$$\vec{a}\times \vec{b}=(0\cdot 0-0\cdot 1,0\cdot 0-1\cdot 0,1\cdot 1-0\cdot 0)=(0,0,1)$$

$z$ 軸方向! 確かに、$xy$ 平面に垂直だ。

性質 $2$: 大きさは、平行四辺形の面積。

$$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$$

上の例なら、$1\times 1\times \sin 90^{\circ }=1$ — 単位正方形の面積 ✓

なぜ、外積は $3$ 次元にしかないのか。

「$2$ つのベクトルに垂直な方向」が、$3$ 次元では(向きを除いて)ただ $1$ つに決まるからだ。

平面($2$ 次元)では、「平面に垂直」な方向は、平面の外にある。 そこには行けない。

$4$ 次元では、「$2$ つに垂直な方向」が $2$ 次元分ある。 $1$ つに決まらない。

$3$ 次元だけが、外積を許す特別な次元なのである。

この特殊性が、物理学に深く関わっている。

• 回転(角運動量): $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$
• 磁場が電荷に及ぼす力: $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$
• トルク(ねじりの力): $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$

「右ねじの法則」で向きが決まる、あの現象だ。

なぜ、磁場の力は、速度にも磁場にも垂直に働くのか。

外積という演算が、$3$ 次元空間に存在するからである。

我々が住むのが $3$ 次元空間だという事実が、物理法則の形を決めている。

もし $4$ 次元だったら、磁力の法則は、まったく違う形になっていただろう。

別解

余弦定理から、内積 $32$ を再現する。

内積の本来の定義は、$|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ だった。

成分の公式($a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$)が、それと一致することを確かめよう。

使うのは、この式だ。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2}{2}$$

(余弦定理を、内積について解いた形。空間でも、そのまま成り立つ。)

$3$ つの量を計算する。

$$|\vec{a}{|}^2=1+4+9=14$$

$$|\vec{b}{|}^2=16+25+36=77$$

$$\vec{a}-\vec{b}=(1-4,2-5,3-6)=(-3,-3,-3)$$

$$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=9+9+9=27$$

代入する。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{14+77-27}{2}=\frac{64}{2}=32$$

$32$! 本解と完全に一致した ✓

「掛けて足す」という計算規則が、$3$ 辺の長さから復元できた。

この計算のご褒美として、なす角も分かる。

$$\cos \theta =\frac{32}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{77}}=\frac{32}{\sqrt{1078}}\approx 0.9746$$

$$\theta \approx 12.9^{\circ }$$

$2$ つのベクトルは、かなり近い方向を向いている。

確かに、$(1,2,3)$ と $(4,5,6)$ は、どちらも「$x$ 少し、$y$ 中くらい、$z$ 多め」という似た傾向をもっている。

内積が大きい($32$)のは、この"似ている"ことの現れだ。

$3$ 次元では、角度を目で確かめられない。

それでも、計算は正しい答えを教えてくれる。

この「見えないものを測る」能力こそ、ベクトルを学ぶ最大の理由である。

$3$ 次元が見えないなら、$4$ 次元は? $100$ 次元は?

もはや誰にも見えない。 だが、内積の公式は、そのまま通用する。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

成分が $n$ 個になっても、掛けて足すだけ。

そして、$\cos \theta$ の公式で、"角度"が定義できてしまう。

「見えない空間の、見えない角度」を、計算だけで確定させる。

それが、現代のデータ解析や機械学習が、日常的にやっていることなのだ。