直線と平面の交点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直線と平面の交点は「直線を媒介変数 $t$ で表し、平面の式に代入して $t$ を求める」。

直線上の点は $(1+2t,t,-1+2t)$。

これを平面 $x+y+z=6$ に入れると、$t$ の方程式が $1$ 本立ち、$t$ が決まる。

それを直線の式に戻せば交点、と見通す。

① 直線を媒介変数で表す。 点 $(1,0,-1)$、方向 $(2,1,2)$ より

$$(x,y,z)=(1+2t,t,-1+2t)$$

② 平面に代入する。 $x+y+z=6$ に入れて

$$(1+2t)+t+(-1+2t)=6⟹5t=6⟹t=\frac{6}{5}$$

③ 交点を求める。 $t=\frac{6}{5}$ を戻すと

$$x=1+2\cdot \frac{6}{5}=\frac{17}{5},y=\frac{6}{5},z=-1+2\cdot \frac{6}{5}=\frac{7}{5}$$

よって交点は $\left(\frac{17}{5},\frac{6}{5},\frac{7}{5}\right)$。

まとめ:直線と平面の交点は「直線を $t$ で表して平面に代入」。$5t=6$ から $t=\frac{6}{5}$、直線に戻して交点。媒介変数を経由するのが空間の交点の定石。

発展 — 一歩先へ。 直線の媒介変数表示を平面の式に入れると、必ず $t$ についての $1$ 次方程式が $1$ 本できる。ふつうは $t$ が $1$ つに決まり、交点も $1$ つ。

もし $t$ の係数が $0$ になったら、それは方向ベクトルが平面に平行なとき。このとき交点はないか(直線が平面の外)、直線全体が平面に含まれるか、の $2$ 通りになる。

平面の法線 $(1,1,1)$ と方向ベクトル $(2,1,2)$ の内積 $5$ が、$t$ の係数の正体。内積が $0$ でない($\ne 0$)から、直線は平面をきちんと $1$ 点で貫く。交点計算の裏に、平行・非平行の判定がひそんでいる。

別解

別解 — $x+y+z$ の伸びだけを追う(得意な人向けの視点)。 平面が $x+y+z=6$ という「$3$ 成分の和」で書かれていることに注目すると、和 $x+y+z$ だけを追えばよい。

直線の出発点 $(1,0,-1)$ では $x+y+z=1+0-1=0$。目標は $6$ だから、あと $6$ だけ増やしたい。

方向ベクトル $(2,1,2)$ に沿って $t$ 進むと、$x+y+z$ は $2+1+2=5$ ずつ増える。だから

$$5t=6⟹t=\frac{6}{5}.$$

この $t$ を直線に戻すと

$$\left(1+2\cdot \frac{6}{5},\frac{6}{5},-1+2\cdot \frac{6}{5}\right)=\left(\frac{17}{5},\frac{6}{5},\frac{7}{5}\right).$$

各成分を平面に代入する本解と同じ。「和 $x+y+z$ が $0$ から $6$ へ、$1$ ステップで $5$ ずつ増える」と見れば、$t$ が暗算で出る。平面が座標の和・差で書けているときに効く見方だ。