数学C / 空間ベクトル

球面と直線の交点

★★★ 応用球面

問題

原点を中心とする半径 $3$ の球面と、 $x$ 軸( $p = (t, 0, 0)$ )との交点の座標を求めよ。

ヒントを見る

$x$ 軸上の点は $(t, 0, 0)$ と書ける。これを球面の式に代入すれば $t$ の方程式になる。

解答・解説

球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ に直線の点 $(t, 0, 0)$ を代入する。 $t^{2} = 9$ から $t = \pm 3$ 。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 球面と直線の交点は、直線の点を球面の式に代入して求める。

$x$ 軸上の点は $(t, 0, 0)$ 。これを球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ に入れると $t^{2} = 9$ 、つまり $t = \pm 3$ が出る。

「図形の交わりを、パラメータの方程式に翻訳して解く」という発想だ。

重要交点は「直線の点を球面の方程式に代入して媒介変数を求める」

① 球面の方程式を書く。 原点中心・半径 $3$ 。

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$

② 直線の点を代入する。 $x$ 軸上の点は $(t, 0, 0)$ 。

$t^{2} + 0 + 0 = 9 \Rightarrow t^{2} = 9 \Rightarrow t = \pm 3$

③ 交点を書く。

$(3, 0, 0), (- 3, 0, 0)$

半径3の球面(中心O)と x軸の交点は (±3,0,0)

まとめ:球面と直線の交点は「直線の媒介変数表示を球面の式に代入」。 $t$ の方程式が出て、その解の個数が交点の個数( $2$ 個・ $1$ 個(接する)・ $0$ 個)。ここは $x$ 軸なので $t = \pm 3$ 、球が $x$ 軸を貫く $2$ 点だ。

発展 — 一歩先へ。 直線を球面の式に代入すると、 $t$ の $2$ 次方程式ができる。その解の個数が交点の個数だ。 $2$ 個なら貫き、 $1$ 個(重解)なら接し、 $0$ 個ならすれ違う。

どれになるかは、中心から直線までの距離 $d$ と半径 $r$ の大小で決まる。 $d < r$ なら $2$ 点、 $d = r$ なら接する、 $d > r$ なら交わらない。平面での「円と直線」とまったく同じ判定になっている。

このとき球面が切り取る弦の長さは $2 r^{2} - d^{2}$ 。いまは $x$ 軸が中心を通るので $d = 0$ 、弦は $2 r^{2} = 2 r = 6$ 、つまり直径そのもの。 $d$ が $0$ から $r$ に近づくほど、弦は直径から $0$ へ縮んでいく。

答

$(3, 0, 0)$ と $(- 3, 0, 0)$

別解 — 中心を通る直線だと見る(苦手な人向けの視覚ルート)。 $x$ 軸は原点 $O$ を通る。球面の中心も原点。つまり $x$ 軸は、球の中心を貫く直線だ。

中心を通る直線は、球面を「直径の両端」で切る。両端は、中心から半径 $3$ だけ左右に離れた $2$ 点になる。

$x$ 軸の向きは $(1, 0, 0)$ だから、中心 $O$ から $\pm 3$ だけ進んだ点が交点。

$O \pm 3 (1, 0, 0) = (3, 0, 0), (- 3, 0, 0) .$

方程式に代入して $t^{2} = 9$ を解く本解と同じ。中心を通る直線なら、計算しなくても「中心 $\pm$ 半径 $\times$ 向き」で両端がすぐ書ける。