数学C / 空間ベクトル

ねじれの位置にある2直線の最短距離(外積)

実戦編空間ベクトル外積最短距離最適化単元横断

問題

空間の $2$ 直線 $ℓ : (x, y, z) = (t, 0, 0)$ 、 $m : (x, y, z) = (s, s, 1)$ ( $t, s$ は実数)の最短距離を求めよ。

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両方の直線に垂直な向きは、方向ベクトルどうしの外積。最短距離は「2直線上の1点ずつを結ぶベクトル」を、その垂直方向へ正射影した長さ。

解答・解説

方針

両直線に垂直な向きは方向ベクトルの外積 $d_{1} \times d_{2}$ 。最短距離は、2直線上の点を結ぶベクトルのこの向きへの正射影の大きさ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ねじれの位置にある $2$ 直線の最短距離は、「両方に垂直な向き」への正射影で測る。

両方に垂直な向きは、方向ベクトル $d_{1}, d_{2}$ の外積 $d_{1} \times d_{2}$ 。ここでは $(1, 0, 0) \times (1, 1, 0) = (0, 0, 1)$ 。

最短距離は、 $2$ 直線上の点を結ぶベクトル $b - a$ の、この外積方向への正射影の大きさ $\frac{∣ ( b - a ) \cdot ( d _{1} \times d _{2} ) ∣}{∣ d _{1} \times d _{2} ∣}$ 。

定理ねじれの

2

直線

a + t d_{1}, b + s d_{2}

の最短距離

= \frac{( b - a ) \cdot ( d _{1} \times d _{2} )}{∣ d _{1} \times d _{2} ∣}

① 方向ベクトルと外積。 $ℓ$ の方向 $d_{1} = (1, 0, 0)$ 、 $m$ の方向 $d_{2} = (1, 1, 0)$ 。外積は $d_{1} \times d_{2} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = (0, 0, 1), ∣ d_{1} \times d_{2} ∣ = 1.$

ねじれの位置の2直線 ℓ,m。両方に垂直な共通垂線(赤)の長さが最短距離。斜投影で表示。

② 2直線上の点を結ぶ。 $ℓ$ 上の点 $a = (0, 0, 0)$ ( $t = 0$ )、 $m$ 上の点 $b = (0, 0, 1)$ ( $s = 0$ )。 $b - a = (0, 0, 1)$ 。

③ 正射影で最短距離。 $d = \frac{( b - a ) \cdot ( d _{1} \times d _{2} )}{∣ d _{1} \times d _{2} ∣} = \frac{∣ ( 0 , 0 , 1 ) \cdot ( 0 , 0 , 1 ) ∣}{1} = \frac{∣1∣}{1} = 1.$

まとめ 最短距離は「 $2$ 直線上の点を結ぶベクトル」を「両方に垂直な向き(外積 $d_{1} \times d_{2}$ )」へ正射影した長さ。 $s, t$ の最小化を避けて外積で一発、答えは $1$ 。空間ベクトル(外積)と最短距離の融合。

発展 — 一歩先へ。 ねじれの位置にある $2$ 直線の最短距離の公式 $\frac{∣ ( b - a ) \cdot ( d _{1} \times d _{2} ) ∣}{∣ d _{1} \times d _{2} ∣}$ は、 $b - a, d_{1}, d_{2}$ が張る平行六面体の「体積 $\div$ 底面積 $=$ 高さ」に等しい。外積とスカラー三重積で、空間の最短距離が体積の言葉で書ける。

答

$ℓ, m$ の方向 $d_{1} = (1, 0, 0), d_{2} = (1, 1, 0)$ の外積 $d_{1} \times d_{2} = (0, 0, 1)$ 。 $\frac{∣ ( b - a ) \cdot ( d _{1} \times d _{2} ) ∣}{∣ d _{1} \times d _{2} ∣} = 1$ 。

別解

別解 — 共通垂線の足を連立で求める(計算で押し切るルート)。 外積を使わず、 $ℓ$ 上の点 $P = (t, 0, 0)$ と $m$ 上の点 $Q = (s, s, 1)$ の距離を最小化する。

$PQ^{2} = (s - t)^{2} + s^{2} + 1.$

$t$ で偏微分して $0$ : $- 2 (s - t) = 0$ より $t = s$ 。 $s$ で偏微分して $0$ : $2 (s - t) + 2 s = 0$ 、 $t = s$ を代入して $2 s = 0$ 、 $s = 0$ 。よって最短は $P = Q$ 方向… ではなく $s = t = 0$ で $P = (0, 0, 0), Q = (0, 0, 1)$ 、距離 $1$ 。

このとき $PQ = (0, 0, 1)$ が両直線の方向 $(1, 0, 0), (1, 1, 0)$ の両方に垂直( $z$ 成分だけ)であることも確認できる。これがまさに外積 $d_{1} \times d_{2} = (0, 0, 1)$ の向き。

外積(本解)は最短距離を1本の式で出すが、共通垂線を連立で求めると「最短を与える点の組」まで具体的に分かる。どちらも同じ $1$ に着く。

ポイント

両方に垂直な向きは方向ベクトルの外積 $d_{1} \times d_{2}$ 。
最短距離 $= \frac{∣ ( b - a ) \cdot ( d _{1} \times d _{2} ) ∣}{∣ d _{1} \times d _{2} ∣}$ 。
この例では $d_{1} \times d_{2} = (0, 0, 1)$ 、距離 $= 1$ 。

よくある間違い

外積 $d_{1} \times d_{2}$ の成分計算を誤る( $(1, 0, 0) \times (1, 1, 0) = (0, 0, 1)$ )。
正射影で割る大きさ $∣ d_{1} \times d_{2} ∣$ を忘れ、 $∣ (b - a) \cdot n ∣$ だけを答えにする。
$2$ 直線が平行(外積 $0$ )でないこと=ねじれの位置であることを確認しない。