平行六面体の対角線の平方和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平行六面体の4本の対角線は、1つの頂点から出る3辺 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ を使うと

$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c},-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$$

と、符号違いの4通りで一斉に書ける(すべての $\pm$ の組8通りのうち、逆向きを同一視して4本)。

平方和を展開すると、交差項 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ などは符号が2勝2敗でちょうど打ち消される。2乗の項だけが4回ずつ生き残り、答えの形 $4(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2)$ が見えてくる。

① 展開する((1))。 各対角線の平方は

$$|\pm \vec{a}\pm \vec{b}\pm \vec{c}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2\pm 2\vec{a}\cdot \vec{b}\pm 2\vec{b}\cdot \vec{c}\pm 2\vec{c}\cdot \vec{a}$$

(複号は各対角線の符号の積で決まる。)4本分を足すと、2乗の項は $4(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2)$。交差項 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ の係数は、$\vec{a},\vec{b}$ の符号の積が $(+,+,+),(+,+,-)$ で正、$(+,-,+),(-,+,+)$ で負 — $+2$ が2回、$-2$ が2回で和は0。$\vec{b}\cdot \vec{c},\vec{c}\cdot \vec{a}$ も同様に消える。よって

$$\sum (\text{対角線}{)}^2=4\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2\right)$$

② 値を出す((2))。

$$4(1+4+9)=56$$

③ 吟味。 この和はなす角(内積)によらない — 平行六面体をどれだけ傾けても、辺の長さが同じなら対角線の平方和は不変。長方形の箱でない場合も含めて成り立つのが恒等式の力だ。

まとめ: 「対称な符号の平方和 → 交差項の勝敗を数える」— 展開を全部書かずに、係数の符号だけ集計するのが賢い計算。平行四辺形の法則(2本・係数2)→ 平行六面体(4本・係数4)と、次元とともに規則正しく拡張される。

発展 — 一歩先へ。 平方和の $\frac{1}{4}$、つまり「対角線の2乗の平均」が $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2$ になる、と読み替えると面白い。符号 $\pm$ を無作為に選んだ和 $\pm \vec{a}\pm \vec{b}\pm \vec{c}$ の2乗の平均、という確率の言葉になり、「独立な誤差は分散(2乗)で足し合わさる」という統計の基本原理と同じ式が現れている。

別解

平行四辺形の恒等式を2段重ねにする(展開しない)。 平面で学んだ恒等式 $|\vec{u}+\vec{v}{|}^2+|\vec{u}-\vec{v}{|}^2=2|\vec{u}{|}^2+2|\vec{v}{|}^2$ を、部品として使い回す。

4本の対角線を「$\vec{c}$ の符号」でペアにする($4$ 本目は $-(\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})$ と読み替えて $|\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}|$ に):

$$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{|}^2+|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}{|}^2=2|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+2|\vec{c}{|}^2$$

$$|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}{|}^2=2|\vec{a}-\vec{b}{|}^2+2|\vec{c}{|}^2$$

($\vec{u}=\vec{a}\pm \vec{b}$、$\vec{v}=\vec{c}$ として適用。)2式を足すと

$$\text{平方和}=2\left(|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2\right)+4|\vec{c}{|}^2=2\cdot 2\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2\right)+4|\vec{c}{|}^2=4\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2\right)$$

もう一度同じ恒等式が入れ子で効いた。全展開(本解)は腕力、恒等式の2段重ねは「2次元の定理を積み木にして3次元を組む」設計 — 次元を上げる証明の楽しさが詰まっている。