空間ベクトルのなす角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 空間でも平面と同じく、なす角は $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

$3$ 成分になっただけで、公式は同じ。

内積($3$ 成分の積の和)と、各ベクトルの大きさ($3$ 成分の $2$ 乗和の平方根)を計算する。

あとは公式に代入するだけ、と見通す。

① 内積。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 2+2\cdot (-1)+2\cdot 2=2-2+4=4$$

② 大きさ。

$$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3,|\vec{b}|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$$

③ なす角。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{4}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}$$

まとめ:空間ベクトルのなす角も「$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$」。$3$ 成分に増えても計算法は同じ。内積 $4$、大きさともに $3$ で $\cos \theta =\frac{4}{9}$。

発展 — 一歩先へ。 内積となす角の公式は、$2$ 次元でも $3$ 次元でも、さらに高次元でもまったく同じ形。変わるのは足す成分の個数だけだ。

じつは $\vec{a},\vec{b}$ はどちらも大きさ $3$。それぞれを $\frac{1}{3}$ 倍した単位ベクトル $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$、$\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ の成分は「方向余弦」と呼ばれ、各座標軸となす角の $\cos$ を表す。

内積 $4$ が最大値 $|\vec{a}||\vec{b}|=9$ より小さいので、$\vec{a},\vec{b}$ は平行ではない。$\cos \theta$ が $1$ に近いほどそろい、$0$ に近いほど直角に近い。角の情報が数値ひとつに凝縮されている。

別解

別解 — 差の大きさから内積を出す(得意な人向けの視点)。 内積を直接計算するかわりに、$|\vec{a}-\vec{b}|$ を経由しても同じ $\cos \theta$ が出る。

$\vec{a}-\vec{b}=(1-2,2-(-1),2-2)=(-1,3,0)$ なので $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=1+9+0=10$。

一方、展開の公式から $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=9+9-2\vec{a}\cdot \vec{b}=18-2\vec{a}\cdot \vec{b}$。

これが $10$ に等しいので $2\vec{a}\cdot \vec{b}=8$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=4$。あとは

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{4}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}.$$

成分から内積を直接出す本解と同じ $\frac{4}{9}$。$3$ 辺の長さ($|\vec{a}|,|\vec{b}|,|\vec{a}-\vec{b}|$)が分かれば、余弦定理と同じ形で角が求まる。$|\vec{a}-\vec{b}|$ が与えられている問題では、この道が速いこともある。