平行六面体の体積(スカラー三重積)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ ベクトルが作る平行六面体の体積は、スカラー三重積の絶対値 $|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|$ で一発。

まず $\vec{b}\times \vec{c}$(底面の平行四辺形の面積ベクトル)を求める。

それと $\vec{a}$ との内積(高さ方向の成分を拾う)をとる。

$\vec{a}=(2,0,0)$ が簡単なので、内積では $\vec{b}\times \vec{c}$ の第 $1$ 成分だけが効く、と見通す。

① 外積 $\vec{b}\times \vec{c}$。 $\vec{b}=(1,3,0)$、$\vec{c}=(1,1,4)$ の外積は

$$\vec{b}\times \vec{c}=(3\cdot 4-0\cdot 1,0\cdot 1-1\cdot 4,1\cdot 1-3\cdot 1)=(12,-4,-2)$$

② $\vec{a}$ との内積。

$$\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})=(2,0,0)\cdot (12,-4,-2)=2\cdot 12+0+0=24$$

③ 体積。 絶対値をとって

$$V=|24|=24$$

まとめ:平行六面体の体積は「スカラー三重積の絶対値 $|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|$」。$\vec{b}\times \vec{c}=(12,-4,-2)$、$\vec{a}=(2,0,0)$ との内積で $24$。四面体なら $\frac{1}{6}$ 倍で $4$。

発展 — 一歩先へ。 スカラー三重積 $\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})$ は、$3$ ベクトルを行に並べた $3\times 3$ 行列の行列式に等しく、符号つきの体積を表す。符号は右手系か左手系か(向き)を示し、絶対値が体積になる。

今回の $3$ ベクトルを並べると、$(2,0,0),(1,3,0),(1,1,4)$ で下三角行列。三角行列の行列式は対角成分の積だから、$2\times 3\times 4=24$ とすぐ出る。

$4$ つの頂点を結ぶ四面体の体積は、平行六面体の $\frac{1}{6}$。三重積 $1$ つから、平行六面体も四面体も、体積が読める。行列式は「体積の測り方」そのものだ。

別解

別解 — 行列式(下三角)で一気に出す(得意な人向けの視点)。 スカラー三重積は、$3$ ベクトルを並べた行列式。この問題では行列がきれいな形なので、外積を計算せずに済む。

$3$ ベクトルを行に並べると

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 3& 0\\ 1& 1& 4\end{array}\right|.$$

右上がすべて $0$ の下三角行列。三角行列の行列式は対角成分の積だから

$$2\times 3\times 4=24.$$

体積はこの絶対値で $24$。

外積 $\vec{b}\times \vec{c}$ を求めて内積をとる本解と同じ $24$。ベクトルを並べた行列が三角形(片側が $0$)になっていれば、対角の積だけで体積が出る。$\vec{a}=(2,0,0)$ のように成分が $0$ を多く含むと、この形になりやすい。