4点を通る球の中心と半径(外接球)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 外接球の中心 $\mathrm{P}$ は、$4$ 点から等距離の点。$\mathrm{PO}=\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}$ を式にする。

距離のままでは根号が邪魔なので、$2$ 乗して比べる。${\mathrm{PO}}^2={\mathrm{PA}}^2$ の差をとると、$2$ 乗の項が消えて $1$ 次方程式になる。

$3$ 本の等式を連立すると、中心 $(1,1,1)$ が出る。半径は $\mathrm{PO}=\sqrt{3}$。

① 等距離の式。 中心 $\mathrm{P}(x,y,z)$ とする。 $${\mathrm{PO}}^2=x^2+y^2+z^2,{\mathrm{PA}}^2=(x-2{)}^2+y^2+z^2.$$ ${\mathrm{PO}}^2={\mathrm{PA}}^2$ より $0=(x-2{)}^2-x^2=-4x+4$、よって $x=1$。

② 残りの座標。 同様に ${\mathrm{PO}}^2={\mathrm{PB}}^2$ から $y=1$、${\mathrm{PO}}^2={\mathrm{PC}}^2$ から $z=1$。よって中心 $\mathrm{P}(1,1,1)$。

③ 半径。 $$r=\mathrm{PO}=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.$$ (検算:$\mathrm{PA}=\sqrt{(1-2{)}^2+1+1}=\sqrt{3}$ で一致。)

まとめ 外接球の中心は $4$ 点から等距離。距離の $2$ 乗の差をとると $1$ 次式になり、連立で中心 $(1,1,1)$、半径 $\sqrt{3}$。空間ベクトル(距離)と連立方程式の融合。

発展 — 一歩先へ。 $4$ 点が立方体の頂点をなすと見抜けば、外接球は立方体の外接球。一般に、外接球の中心は「各辺の垂直二等分面」の交点で、$4$ 点(同一平面上にない)なら必ず1つに定まる。三角形の外心(垂直二等分線の交点)を、平面から空間へ持ち上げた概念である。

別解

別解 — 立方体の対角線として一目で出す(得意な人向けの高い視点)。 $4$ 点 $\mathrm{O}(0,0,0)$、$\mathrm{A}(2,0,0)$、$\mathrm{B}(0,2,0)$、$\mathrm{C}(0,0,2)$ は、$1$ 辺 $2$ の立方体の $4$ つの頂点(原点と、そこから各軸に $2$ 進んだ$3$点)。

この立方体の中心は $(1,1,1)$。立方体の中心は $8$ 頂点すべてから等距離だから、当然その中の $4$ 点 $\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ からも等距離 — これが外接球の中心だ。

半径は、中心から頂点までの距離 $=$ 立方体の対角線の半分。対角線は $\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}$ だから、半径は $\sqrt{3}$。

距離の2乗を連立する(本解)代わりに、「$4$ 点を立方体の頂点とみて、中心は対角線の中点」と読むと、中心 $(1,1,1)$ も半径 $\sqrt{3}$ も暗算で出る。点の配置に隠れた対称な図形(ここでは立方体)を見抜くと計算が消える。