平面をはさむ2点と折れ線の最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 折れ線 $\mathrm{AR}+\mathrm{RB}$ の最小は、鏡像で直線に伸ばすのが定石だ。

A の $xy$ 平面に関する対称点 ${\mathrm{A}}^{\prime }(1,1,-3)$ をとると、R が平面上にある限り $\mathrm{AR}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{R}$。だから

$$\mathrm{AR}+\mathrm{RB}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{R}+\mathrm{RB}\ge {\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}$$

等号は R が線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}$ 上のとき。最小値は $|{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}|$ そのもので、R は線分と平面の交点として求まる。折れ線をまっすぐに直す、の一言に尽きる。

① 対称点をとる。 $\mathrm{A}(1,1,3)$ の $z=0$ に関する対称点は ${\mathrm{A}}^{\prime }(1,1,-3)$。$\mathrm{A},\mathrm{B}$ はともに $z>0$ 側、${\mathrm{A}}^{\prime }$ は反対側にある。

② 最小値。

$${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}=\sqrt{(3-1{)}^2+(5-1{)}^2+(1-(-3){)}^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

よって $\mathrm{AR}+\mathrm{RB}\ge 6$ で、等号は $\mathrm{R}$ が線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}$ と平面の交点のとき。

③ 交点を求める。 線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}$: $(1,1,-3)+t(2,4,4)$($0\le t\le 1$)。$z=0$: $-3+4t=0$ より $t=\frac{3}{4}$($0\le t\le 1$ ✓ たしかに線分上)。

$$\mathrm{R}\left(1+\frac{3}{2},1+3,0\right)=\left(\frac{5}{2},4,0\right)$$

まとめ: 「折れ線は鏡で伸ばす」— 平面(空間)でも数直線・平面図形と同じ原理が通る。等号成立の位置(交点が線分の内部にあること $0\le t\le 1$)の確認までがワンセット。反射の法則=最短経路、という物理との接点も味わいたい。

発展 — 一歩先へ。 等号成立の R では、入射角と反射角が等しくなっている(鏡像の作図がまさに反射の法則)。「光は最短時間の経路を通る」というフェルマーの原理から反射の法則を導くのが、この問題の物理版だ。平面が2枚(床と壁)になっても、鏡像を2回とれば同じ直線化が通用する。

別解

三角不等式だけで(鏡を使わない代数ルート)。 ベクトルの三角不等式 $|\vec{u}|+|\vec{v}|\ge |\vec{u}+\vec{v}|$ を、高さ成分を仕込んで使う。

$\mathrm{R}(x,y,0)$ に対し、平面内のずれを $\vec{p}=(x-1,y-1)$、$\vec{q}=(3-x,5-y)$ とおくと

$$\mathrm{AR}=\sqrt{|\vec{p}{|}^2+3^2},\mathrm{RB}=\sqrt{|\vec{q}{|}^2+1^2}$$

これは3次元ベクトル $(\vec{p},3)$ と $(\vec{q},1)$ の大きさ。三角不等式で

$$\mathrm{AR}+\mathrm{RB}\ge \left|(\vec{p}+\vec{q},3+1)\right|=\sqrt{|\vec{p}+\vec{q}{|}^2+16}$$

ここで $\vec{p}+\vec{q}=(2,4)$ は R によらない定ベクトル(A, B の平面成分の差)だから

$$\mathrm{AR}+\mathrm{RB}\ge \sqrt{20+16}=6$$

等号は $(\vec{p},3)\parallel (\vec{q},1)$ のとき。成分比から $\vec{p}=3\vec{t},\vec{q}=\vec{t}$($\vec{t}=(\frac{1}{2},1)$)で、$\mathrm{R}\left(\frac{5}{2},4,0\right)$ — 本解と一致する。

鏡像(本解)は図形の発明、三角不等式は代数の直進。高さ $3$ と $1$ が「$3+1=4$」と束ねられるところに、鏡像の展開図と同じ心臓部が入っている。