空間ベクトルの大きさ(負の成分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 負の成分が $2$ つある。それでも、何も変わらない。

$$|\vec{a}|=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+(-2{)}^2}$$

$2$ 乗すれば、符号は消える。

$$(-1{)}^2=1,(-2{)}^2=4$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

答えは $3$。

$(1,2,2)$ のときと、同じ大きさだ。

当然である。大きさとは、矢印の長さだから。

向きがどちらを向いていようと、長さは変わらない。

$$|\vec{a}|\geqq 0$$

大きさは、絶対に負にならない。

計算する前から、答えが正であることは決まっている。

「$2$ 乗が、すべての符号を洗い流す」 — これが、大きさの公式の性質だ。

$$|\vec{a}|=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

まとめ:大きさは成分を $2$ 乗して足すので、負の符号は消える。$(-1,2,-2)$ も $(1,2,2)$ も大きさは同じ $3$(向きが違うだけ)。$(-1{)}^2=1$、$(-2{)}^2=4$ に注意。

発展 — 一歩先へ。 空間ベクトルの基本が、これで出そろった。平面との違いを、整理しておこう。

変わらないもの(平面と同じ)。

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}(\text{成分が }1\text{ つ増えただけ})$$

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$

$$\text{垂直}\iff \text{内積 }0,\text{平行}\iff \text{実数倍}$$

$$\text{内分点・重心}=\text{重みつき平均}$$

「平面でできたことは、すべて空間でもできる。」

新しく現れたもの(空間だけ)。

① 外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ — $2$ ベクトルに垂直なベクトル。$3$ 次元にしか存在しない。

② 平面という図形 — 空間には、直線だけでなく「平面」がある。法線ベクトルで記述する。

③ 体積 — スカラー三重積で計算できる。

④ ねじれの位置 — 平面では、$2$ 直線は「交わる」か「平行」の $2$ 択だった。空間では、交わらないが平行でもないという第 $3$ の関係がある。

この ④ が、空間の豊かさを象徴している。

平面に閉じ込められていたときには、想像もできなかった関係だ。

そして、次元を上げると、こういう"新しい現象"が必ず現れる。

$4$ 次元では?

$2$ 枚の平面が、$1$ 点だけで交わることがある。

(我々の $3$ 次元では、$2$ 平面は必ず直線で交わるか、平行になる。)

想像もできない。だが、計算はできる。

そこに、数学の力がある。

「見えなくても、計算できる」

空間ベクトルを学ぶ本当の意味は、$3$ 次元を扱えるようになることではない。

「図に描けない世界を、計算で扱う」という方法論を、身につけることだ。

そして、その方法論は、$4$ 次元でも、$100$ 次元でも、無限次元でも通用する。

現代の科学は、そういう空間の中で行われている。

• 統計学: データの次元 $=$ 変数の数(数百、数千)
• 機械学習: パラメータ空間の次元 $=$ 数十億
• 物理学: 状態空間、位相空間、ヒルベルト空間
• 経済学: 商品の種類だけの次元をもつ空間

誰も図に描けない。だが、内積は計算できる。距離は測れる。角度も定義できる。

$|(-1,2,-2)|=3$

この計算を、$1000$ 個の成分でやれば、それが現代のデータ解析なのだ。

次は複素数平面へ進む。 そこでは、$2$ 次元の平面が、まったく新しい顔を見せる — 数として、掛け算ができる平面である。

別解

符号の $8$ 通りを、すべて確かめる。

成分 $(1,2,2)$ の符号を、自由に変えてみよう。

$3$ 成分それぞれに $\pm$ があるので、$2^3=8$ 通りある。

$$(1,2,2),(-1,2,2),(1,-2,2),(1,2,-2)$$ $$(-1,-2,2),(-1,2,-2),(1,-2,-2),(-1,-2,-2)$$

すべての大きさを計算する。

どれも、$2$ 乗すると $1$、$4$、$4$ になる。

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=3$$

$8$ 通り、すべて大きさ $3$!

この問題の $(-1,2,-2)$ も、その $1$ つにすぎない。

$8$ つのベクトルの終点は、空間のどこにあるか。

すべて、原点を中心とする半径 $3$ の球面の上だ。

$8$ つの象限(空間は $8$ つの領域に分かれる)に、$1$ つずつ、対称に散らばっている。

「符号を変えても、長さは変わらない」

これは、鏡映対称性という。

$x$ 座標の符号を変えるのは、$yz$ 平面で鏡に映すこと。

鏡に映しても、長さは変わらない。 当たり前だ。

そして、この性質から、$2$ つの重要な公式が出る。

公式 $1$: $|-\vec{a}|=|\vec{a}|$

すべての成分の符号を変えても、大きさは同じ。

(向きは正反対になるが、長さは変わらない。)

公式 $2$: $|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|$

$k$ 倍すると、長さは $|k|$ 倍($k$ の絶対値!)。

確かめよう。 $k=-3$ で

$$|-3(1,2,2)|=|(-3,-6,-6)|=\sqrt{9+36+36}=\sqrt{81}=9=3\times 3✓$$

$|k|=3$ 倍になっている。 ($k=-3$ ではなく、$|k|=3$ 倍。)

長さは負にならないから、絶対値がつく。

さて、この「向きによらない」という性質を、もう一段深く考えよう。

大きさは、座標軸の取り方にもよらない。

座標軸を、原点のまわりにぐるぐる回転させても、ベクトルの成分は変わるが、大きさは変わらない。

$$|\vec{a}|=\text{不変}$$

これを回転不変性という。

なぜ、これが重要か。

物理法則は、座標軸の取り方によらないはずだ。

「東を $x$ 軸にするか、北を $x$ 軸にするか」で、物理法則が変わってしまったら、おかしい。

だから、物理量は「回転で不変な量」で書かれなければならない。

• 大きさ $|\vec{a}|$ — 不変 ✓
• 内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ — 不変 ✓
• 成分 $a_1$ — 不変ではない(座標軸を変えると変わる)

エネルギーや仕事が、内積で定義されているのは、この不変性のためだ。

$$W=\vec{F}\cdot \vec{s}$$

「座標軸をどう取っても、仕事の値は同じ」

この当たり前の要請が、内積という演算を必然にしている。

$|(-1,2,-2)|=3$ という、負の符号だらけの計算。

その答えが、座標系によらない絶対的な量であるという事実に、物理学の根幹がある。