空間ベクトルのなす角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 なす角の求め方は、平面と同じだ。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

内積と大きさを、それぞれ計算する。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 1+1\times 0+0\times 1=1$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2},|\vec{b}|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$$

代入する。

$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$

$$\theta =60^{\circ }$$

答えは $60^{\circ }$。

$3$ 次元の角度は、図では確かめにくい。

だが、この $2$ つのベクトルには、美しい幾何的な意味が隠れている。

それは別解で明かそう。

まずは、公式が平面とまったく同じ形で使えることを、確認しておこう。

① 内積と大きさを求める。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 1=1$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2},|\vec{b}|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$$

② $\cos \theta$ を計算する。

$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$

③ 角を求める。 $\cos \theta =\frac{1}{2}$ より $\theta =60^{\circ }$。

まとめ:空間のなす角も「内積 ÷(大きさの積)」で平面と同じ。$3$ 成分の内積・大きさを使うだけ。$\frac{1}{2}$ は $60^{\circ }$。

発展 — 一歩先へ。 正四面体の"中心角"を、実際に計算してみよう。

正四面体の中心から、$4$ つの頂点へ向かうベクトル。 そのなす角は?

立方体の中に埋め込んだ正四面体を使う。

立方体の頂点を $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ とすると、正四面体の $4$ 頂点は

$$(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)$$

($3$ 成分の積が正になる $4$ 点。)

中心は原点だ。

$2$ つの頂点へのベクトルのなす角を求めよう。

$$\vec{u}=(1,1,1),\vec{v}=(1,-1,-1)$$

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=1-1-1=-1$$

$$|\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{3}$$

$$\cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=-\frac{1}{3}$$

$$\theta =\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\approx 109.47^{\circ }$$

$109.47^{\circ }$!

この角度が、化学の教科書に必ず出てくる「正四面体角」である。

メタン $\mathrm{C}{\mathrm{H}}_4$ の、$\mathrm{H}$–$\mathrm{C}$–$\mathrm{H}$ の結合角が、まさにこれだ。

なぜ、炭素の結合角がこの値なのか。

$4$ つの電子対が、互いにできるだけ遠ざかろうとするからだ。

球面上に $4$ 点を、最も均等に配置すると — 正四面体の頂点になる。

「反発しあう $4$ つのものを、最も離して置く」という物理的な要請が、正四面体という幾何的な形を生む。

そして、その角度は $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$ という、内積から出てくる数だ。

水分子の結合角($104.5^{\circ }$)が、これに近いのも同じ理由である(孤立電子対の影響で、少し狭くなっている)。

ダイヤモンドの硬さも、この角度に由来する。

炭素原子が、$4$ 方向すべてに強い結合をもち、正四面体を無限に繰り返す。 どの方向にも均等に強い、完璧な構造だ。

内積 $=-\frac{1}{3}$ という、$1$ つの数。

そこから、$109.47^{\circ }$ という角が出て、それがメタンの形を決め、ダイヤモンドの硬さを決めている。

数学は、世界の形を予言する。

「なぜ、そういう形なのか」という問いに、答えを与えるのだ。

別解

この $60^{\circ }$ は、立方体の中に隠れた正三角形の角である。

$2$ つのベクトルを、よく見てほしい。

$$\vec{a}=(1,1,0),\vec{b}=(1,0,1)$$

これは、単位立方体の面の対角線だ。

• $\vec{a}=(1,1,0)$: 底面($xy$ 平面)の対角線
• $\vec{b}=(1,0,1)$: 側面($xz$ 平面)の対角線

$2$ つとも、原点から出ている。 そして、長さはどちらも $\sqrt{2}$。

ここで、もう $1$ 本、面の対角線を追加しよう。

$$\vec{c}=(0,1,1)(yz\text{ 平面の対角線})$$

$3$ つのベクトルの終点 $(1,1,0)$、$(1,0,1)$、$(0,1,1)$ を結ぶと、何ができるか。

$3$ 点の距離を計算しよう。

$$|(1,1,0)-(1,0,1)|=|(0,1,-1)|=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}$$

$$|(1,0,1)-(0,1,1)|=|(1,-1,0)|=\sqrt{2}$$

$$|(0,1,1)-(1,1,0)|=|(-1,0,1)|=\sqrt{2}$$

$3$ 辺がすべて $\sqrt{2}$ — 正三角形だ!

立方体の $3$ つの頂点を結ぶと、正三角形が現れる。

正三角形の内角は、$60^{\circ }$。

そして、原点からこの $3$ 頂点へ向かうベクトルどうしのなす角も、$60^{\circ }$ になる(原点と $3$ 頂点で、正四面体ができるから)。

だから、答えは $60^{\circ }$ ✓ 計算せずに、図形から分かった。

この事実は、立方体の隠れた美しさを教えてくれる。

立方体の $8$ 頂点のうち、$1$ つおきに $4$ 点を選ぶと — 正四面体になる。

$(0,0,0)$、$(1,1,0)$、$(1,0,1)$、$(0,1,1)$ の $4$ 点。

すべての辺の長さが $\sqrt{2}$ の、完璧な正四面体だ。

立方体の中に、正四面体が $2$ つ、互いに交差して埋め込まれている(残りの $4$ 頂点で、もう $1$ つできる)。

この $2$ つの正四面体の重なりが、「星形八面体」という美しい立体を作る。

ケプラーが $1609$ 年に記述した図形だ。

さらに、正四面体の中心角(中心から $2$ 頂点への角)は、$109.47^{\circ }$。

この角度は、水分子(${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$)やメタン($\mathrm{C}{\mathrm{H}}_4$)の結合角として、化学に現れる。

炭素原子の $4$ つの結合手は、正四面体の頂点方向を向いている。

ダイヤモンドの結晶構造も、この正四面体の繰り返しだ。

$\cos \theta =\frac{1}{2}$、$\theta =60^{\circ }$ という、$1$ 行の計算。

その裏に、立方体と正四面体と、ダイヤモンドの構造が横たわっている。