四面体の体積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 四面体の体積は、同じ $3$ 辺が作る平行六面体の $\frac{1}{6}$。式で書くと $\frac{1}{6}|\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC})|$ だ。

「四面体は平行六面体の $6$ 分の $1$」という関係が要になる。

スカラー三重積で平行六面体の体積を出し、$\frac{1}{6}$ すればよい。ここは $3$ 辺が直交するので計算はさらに楽になる、と見通す。

① $3$ 辺を確かめる。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,0,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(0,2,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(0,0,3)$ は互いに直交($x,y,z$ 軸方向)。

② 平行六面体の体積を求める。 直交する $3$ 辺の平行六面体は直方体。

$$V_{\text{平行六面体}}=1\times 2\times 3=6$$

③ $\frac{1}{6}$ にする。 四面体は平行六面体の $\frac{1}{6}$。

$$V_{\text{四面体}}=\frac{1}{6}\times 6=1$$

まとめ:四面体(三角錐)の体積は、同じ $3$ 辺で作る平行六面体の $\frac{1}{6}$。ここは $3$ 辺が直交する直方体なので、体積 $6$ の $\frac{1}{6}$ で $1$。底面積 × 高さ × $\frac{1}{3}$ でも $\frac{1}{3}\cdot \frac{1\cdot 2}{2}\cdot 3=1$ と一致する。

発展 — 一歩先へ。 四面体が平行六面体の $\frac{1}{6}$ になる「$\frac{1}{6}$」は、じつは $\frac{1}{3!}$。この分数は次元ごとに規則正しく変わる。

平面では、三角形は平行四辺形の $\frac{1}{2}=\frac{1}{2!}$。空間では、四面体は平行六面体の $\frac{1}{6}=\frac{1}{3!}$。$n$ 次元へ上げると、いちばん単純な立体は $n$ 本のベクトルが作る箱の $\frac{1}{n!}$ になる。

$\frac{1}{6}$ の正体は、$2$ つの分数の積だ。底面の三角形が平行四辺形の $\frac{1}{2}$、その三角錐が柱の $\frac{1}{3}$。$\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。「三角形の半分」と「錐の $\frac{1}{3}$」がかけ合わさっている、と見ると腑に落ちる。

別解

別解 — 斜めの面 ABC を底面にとる(得意な人向けの視点)。 底面を直角三角形 $\mathrm{OAB}$ でなく、斜めの面 $△\mathrm{ABC}$ にとっても、同じ体積が出る。

$△\mathrm{ABC}$ の面積は、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1,2,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,0,3)$ の外積の大きさの半分。外積は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(6,3,2)$ で、大きさ $\sqrt{36+9+4}=7$。だから面積は $\frac{7}{2}$。

高さは、頂点 $\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ までの距離。平面は $6x+3y+2z=6$ だから、$\mathrm{O}(0,0,0)$ との距離は $\frac{|-6|}{\sqrt{36+9+4}}=\frac{6}{7}$。

体積は錐の公式で

$$V=\frac{1}{3}\times \frac{7}{2}\times \frac{6}{7}=1.$$

$3$ 辺が直交する箱から $\frac{1}{6}$ を取る本解と同じ。どの面を底にしても体積は変わらない、という当たり前が、計算でも確かめられる。