数学C / 空間ベクトル

4点が同一平面上にある条件

★★★ 応用共面

問題

$4$ 点 $O (0, 0, 0)$ 、 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (0, 1, 0)$ 、 $P (2, 3, 0)$ が同一平面上にあることを、ベクトルを用いて示せ。

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同一平面上 ⟺ $OP$ が $OA$ と $OB$ の $1$ 次結合で書ける。成分で係数を決められるか試そう。

解答・解説

点 $P$ が $O, A, B$ の定める平面上 ⟺ $OP = s OA + t OB$ と表せる( $2$ ベクトルの $1$ 次結合)。 $s, t$ が求まれば共面。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 点 $P$ が $O, A, B$ の定める平面上にあるのは、 $O P$ が $O A, O B$ の $2$ 本で表せるとき。

つまり $O P = s O A + t O B$ とおけるかどうか。成分を比べて $s, t$ が存在するか調べる。

「同一平面 = $2$ ベクトルの $1$ 次結合で表せる」という言いかえが核だ。

重要点

P

が平面

OAB

上

⟺

OP = s OA + t OB

と表せる

① $1$ 次結合とおく。 $OP = s OA + t OB$ 。

$(2, 3, 0) = s (1, 0, 0) + t (0, 1, 0) = (s, t, 0)$

② 成分を比べる。 $x$ 成分 $s = 2$ 、 $y$ 成分 $t = 3$ 、 $z$ 成分 $0 = 0$ (一致)。

$OP = 2 OA + 3 OB$

と表せるので、 $P$ は $O, A, B$ の定める平面上にある( $4$ 点は同一平面上)。

3次元空間で、O・A・B・P はすべて高さ z=0 の平面(灰色の床)の上にある。P へは OP=2·OA+3·OB とたどれる ⇒ P はこの平面上 ⇒ 4点は同一平面上

まとめ:点が「 $3$ 点の定める平面上」にあるかは、 $OP$ が $2$ つの辺ベクトル $OA, OB$ の $1$ 次結合で表せるかで判定。 $z$ 成分がすべて $0$ なので、この $4$ 点は $x y$ 平面上にあると一目で分かる。

発展 — 一歩先へ。 今回は基準点を $O$ にとったので、 $O P = 2 O A + 3 O B$ と、係数 $(2, 3)$ の $2$ 本で表せた。この $(2, 3)$ は、 $O A, O B$ を目盛りにした「平面内での座標」だ。

基準点が原点でない一般の $4$ 点 $A, B, C, D$ では、条件はもう少し対称になる。 $D$ が $A, B, C$ の平面上にあるのは、 $D = α A + β B + γ C$ かつ $α + β + γ = 1$ と書けるとき。

係数の和が $1$ 、という縛りが「同じ平面に乗る」の正体だ。これはアフィン結合と呼ばれ、三角形の内部を重み付き平均で指す重心座標にもつながる。 $1$ 点を基準にとる見方と、 $3$ 点を対等に扱う見方は、この和 $= 1$ の条件でつながっている。

答

$OP = 2 OA + 3 OB$ と表せる(共面)ので同一平面上

別解 — $3$ 点を通る平面の方程式を先に決める(得意な人向けの視点)。 $1$ 次結合を作るかわりに、 $O, A, B$ を通る平面の方程式を求めて、 $P$ がそれを満たすかを見る。

平面を $a x + b y + cz = d$ とおく。 $3$ 点を代入すると

残るのは $cz = 0$ 、つまり平面 $z = 0$ ( $c \neq = 0$ で割った)。 $O, A, B$ の定める平面は $x y$ 平面そのものだ。

$P (2, 3, 0)$ は $z = 0$ を満たすので、この平面の上にある。よって $4$ 点は同一平面上にある。

$OP$ を $OA, OB$ の $1$ 次結合で表す本解と同じ結論。「平面の方程式を先に立てて、残りの点を代入する」やり方は、点が $5$ 個・ $6$ 個に増えても手間が変わらないのが強みだ。