空間の2直線のなす角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 直線のなす角は、位置(通る点)には関係なく、方向ベクトルどうしのなす角で決まる。

${\vec{d}}_1=(1,0,1)$、${\vec{d}}_2=(0,1,1)$ の内積と大きさから $\cos \theta$ を求める。

ただし直線のなす角は $0°\sim 90°$ にとる。

だから内積が負でも鋭角側にとるため、絶対値をつける、と見通す。

① 内積と大きさ。 ${\vec{d}}_1=(1,0,1)$、${\vec{d}}_2=(0,1,1)$ より

$${\vec{d}}_1\cdot {\vec{d}}_2=1\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 1=1,|{\vec{d}}_1|=\sqrt{2},|{\vec{d}}_2|=\sqrt{2}$$

② なす角。

$$\cos \theta =\frac{|{\vec{d}}_1\cdot {\vec{d}}_2|}{|{\vec{d}}_1||{\vec{d}}_2|}=\frac{|1|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$

$0°\le \theta \le 90°$ より $\theta =60°$。

まとめ:$2$ 直線のなす角は「方向ベクトルのなす角」で、通る点は無関係。$\cos \theta =\frac{|{\vec{d}}_1\cdot {\vec{d}}_2|}{|{\vec{d}}_1||{\vec{d}}_2|}$、内積に絶対値をつけて $0°\sim 90°$ にとる。$\cos \theta =\frac{1}{2}$ で $60°$。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 直線のなす角に絶対値 $|{\vec{d}}_1\cdot {\vec{d}}_2|$ をつけるのは、方向ベクトルの向き($\pm$)を反対にとっても角が同じになるようにするため。ベクトルどうしなら $0°\sim 180°$ だが、直線どうしは $0°\sim 90°$ で測る約束だ。

じつはこの $2$ 直線は交わらない(共有点をもたない)。空間では、平行でも交わりもしない「ねじれの位置」の直線がある。それでも、方向ベクトルさえあれば、なす角はきちんと定義できる。

平面なら $2$ 直線は必ず交わるか平行だが、$3$ 次元にはねじれの位置という第 $3$ の関係が加わる。位置によらず方向だけで角が決まる、という点が要だ。

別解

別解 — $3$ 辺の長さから正三角形を見抜く(得意な人向けの視点)。 方向ベクトル ${\vec{d}}_1,{\vec{d}}_2$ とその差 ${\vec{d}}_1-{\vec{d}}_2$ で三角形を作ると、$3$ 辺の長さから角が読める。

${\vec{d}}_1=(1,0,1)$、${\vec{d}}_2=(0,1,1)$ で、$|{\vec{d}}_1|=|{\vec{d}}_2|=\sqrt{2}$。差は ${\vec{d}}_1-{\vec{d}}_2=(1,-1,0)$ で

$$|{\vec{d}}_1-{\vec{d}}_2|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.$$

$3$ 辺 $|{\vec{d}}_1|,|{\vec{d}}_2|,|{\vec{d}}_1-{\vec{d}}_2|$ がすべて $\sqrt{2}$。${\vec{d}}_1,{\vec{d}}_2$ を $2$ 辺、${\vec{d}}_1-{\vec{d}}_2$ を対辺とする三角形は正三角形だから、${\vec{d}}_1$ と ${\vec{d}}_2$ のなす角は $60°$。$0°\sim 90°$ に収まるので、$2$ 直線のなす角も $\theta =60°$。

$\cos \theta =\frac{|{\vec{d}}_1\cdot {\vec{d}}_2|}{|{\vec{d}}_1||{\vec{d}}_2|}=\frac{1}{2}$ から出す本解と同じ。$3$ 辺が等しいと分かれば、内積を経由せずに正三角形の角 $60°$ と即断できる。