球面と平面の交わりの円

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 球面と平面の交わりは円。その中心と半径は、球の中心 C から平面へ下ろした垂線がすべてを決める。

垂線の長さ $d$ は点と平面の距離の公式。交円の中心 F は「C から法線方向に $d$ だけ進んだ足」。半径は直角三角形の三平方で $r=\sqrt{R^2-d^2}$。

計算は「距離 → 足 → 三平方」の3手で流れ作業になる。

① 距離を測る。 中心 $\mathrm{C}(1,2,3)$、平面 $2x+2y+z=21$(法線 $\vec{n}=(2,2,1)$、$|\vec{n}|=3$):

$$d=\frac{|2\cdot 1+2\cdot 2+3-21|}{3}=\frac{12}{3}=4$$

$d=4<5=R$ だから、たしかに交わって円ができる。

② 半径(三平方)。

$$r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-16}=3$$

③ 中心(垂線の足)。 $\mathrm{C}$ から法線の単位ベクトル $\frac{1}{3}(2,2,1)$ の向きに $d=4$ 進む($21-(2+4+3)=12>0$ なので $+\vec{n}$ の向き):

$$\mathrm{F}=(1,2,3)+\frac{4}{3}(2,2,1)=\left(\frac{11}{3},\frac{14}{3},\frac{13}{3}\right)$$

(検算: $2\cdot \frac{11}{3}+2\cdot \frac{14}{3}+\frac{13}{3}=\frac{22+28+13}{3}=21$ ✓ 平面上にある。)

まとめ: 球と平面の交円は「距離 → 三平方 → 足」の3手で機械的に決まる。断面の直角三角形($5,4,3$!)を思い浮かべられれば、公式を覚えていなくても現場で組み立てられる — 空間の問題を断面の平面図形に落とす、いつもの翻訳だ。

発展 — 一歩先へ。 $d$ を動かすと、$d<R$ で円、$d=R$ で1点(接する)、$d>R$ で共有なし — 平面での「円と直線」の3態の、そのままの空間版だ。さらに2つの球面の交わりも、差をとると平面(根面)が現れて同じ議論に落ちる — 「球どうしの交円」まで、この1問の道具で届く。

別解

直交分解で「なぜ円か」まで示す。 交わり上の点 P を、足 F を経由して分解する: $\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{CF}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}$。

$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$ は平面の法線方向(長さ $d$)、$\overrightarrow{\mathrm{FP}}$ は平面内 — 2つは垂直だから三平方で

$$R^2=|\overrightarrow{\mathrm{CP}}{|}^2=d^2+|\overrightarrow{\mathrm{FP}}{|}^2⟹|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=\sqrt{R^2-d^2}$$

つまり、交わり上のすべての点は F からちょうど $\sqrt{R^2-d^2}$ の距離にある(逆に、平面内で F からこの距離の点はすべて球面上にある)。これが「交わりが F 中心・半径 $\sqrt{R^2-d^2}$ の円そのもの」であることの証明だ。

本解の「三平方で半径」は、この分解の計算部分。「中心はなぜ垂線の足か」「なぜ円になるのか」まで問われたときに、この直交分解が答案の背骨になる。