数学C / 空間ベクトル

空間の内分点

★★ 標準内分点

問題

$2$ 点 $A (1, 2, 3)$ 、 $B (7, 8, 9)$ を結ぶ線分 $AB$ を $1 : 2$ に内分する点 $P$ の座標を求めよ。

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内分点の公式は空間でもそのまま使える。比の向きだけ図で確認して代入。

解答・解説

内分点の公式 $\frac{n A + m B}{m + n}$ 。 $1 : 2$ なので $\frac{2 A + B}{3}$ 。 $3$ 成分それぞれ計算。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内分点の公式は空間でも同じ — 成分が $3$ つに増えるだけだ。

$P = \frac{2 A + B}{3}$

( $1 : 2$ の内分は $A$ 寄りだから、 $A$ に大きい係数 $2$ 。)成分ごとに

$P = (\frac{2 + 7}{3}, \frac{4 + 8}{3}, \frac{6 + 9}{3}) = (3, 4, 5)$

$x, y, z$ の $3$ 回、同じ計算を繰り返す — それだけである。

公式

m : n

内分点

= \frac{n A + m B}{m + n}

(空間でも同じ)

$1 : 2$ 内分なので $\frac{2 A + B}{3}$ 。

$P = \frac{2 ( 1 , 2 , 3 ) + ( 7 , 8 , 9 )}{3} = \frac{( 2 , 4 , 6 ) + ( 7 , 8 , 9 )}{3} = \frac{( 9 , 12 , 15 )}{3} = (3, 4, 5)$

線分 AB を 1:2 に内分する点 P(3,4,5)。A(1,2,3), B(7,8,9)

まとめ:空間の内分点も平面と同じ公式で、 $3$ 成分それぞれ計算するだけ。 $1 : 2$ 内分( $A$ に近い)は $A$ の重みが $2$ (たすきがけ)。 $z$ 座標が加わっただけだ。

発展 — 一歩先へ。 「成分ごとに数直線の計算を繰り返すだけ」という構造は、内分・外分・重心・中点のすべてに共通する。四面体の重心 $\frac{A + B + C + D}{4}$ も、成分ごとの平均を $3$ 回とるだけだ。

一方、成分ごとに分けられない量もある — 大きさ(成分が混ざる $2$ 乗和)、なす角、垂直条件。空間の問題を見たら「成分ごとに済む話か、成分が絡む話か」をまず仕分けると、計算の見通しが立つ。内分は前者の代表、垂線の足は後者の代表である。

答

$(3, 4, 5)$

この $2$ 点は特別に歩きやすい — 歩幅の目で暗算してみよう。

$A (1, 2, 3)$ から $B (7, 8, 9)$ への移動は $AB = (6, 6, 6)$ — どの成分も $+ 6$ の、対角線方向の一本道だ。

$1 : 2$ の内分点は $A$ から全体の $\frac{1}{3}$ だけ進んだ地点。 $\frac{1}{3}$ 歩は $(2, 2, 2)$ だから

$P = (1, 2, 3) + (2, 2, 2) = (3, 4, 5)$

各成分が「 $1, 2, 3$ → $3, 4, 5$ → $5, 6, 7$ → $7, 8, 9$ 」と等間隔に刻まれていく様子まで見える( $\frac{2}{3}$ 地点は $(5, 6, 7)$ )。

内分の計算は本質的に数直線の話を成分ごとに $3$ 回やっているだけ — 空間だからと身構える必要はない、という感覚をこの問題で確かめておくと、四面体の重心などの応用でも足がすくまない。