空間のなす角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 成分が $3$ つに増えても、なす角の公式は同じ形だ。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

内積は「成分の積を $3$ つ足す」、大きさは「$3$ つの $2$ 乗和の平方根」— 部品の計算が $1$ 成分ぶん増えるだけである。

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1+1+0=2$、$|\vec{a}|=\sqrt{3}$、$|\vec{b}|=\sqrt{2}$。代入して $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

① 内積と大きさを求める。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0=2$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{3},|\vec{b}|=\sqrt{2}$$

② $\cos \theta$ を計算する。

$$\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

まとめ:空間のなす角も平面と同じ「内積 ÷(大きさの積)」。$\frac{2}{\sqrt{6}}$ を有理化して $\frac{\sqrt{6}}{3}$。$3$ 成分の内積・大きさを正確に計算するのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 立方体の対角線 $(1,1,1)$ が各軸となす角も同じ計算で出る: $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ が $3$ 回 — そして ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$(方向余弦の関係)。空間の向きは $3$ つの $\cos$ の組で記述でき、その $2$ 乗和は必ず $1$ になる — 大きさの定義($2$ 乗和)の言い換えである。

なす角の公式が平面・空間で同じ形なのは偶然でなく、内積の幾何的定義($|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$)が次元に依らないから。$4$ 次元でも $100$ 次元でも同じ式で「角度」が定義できる — データ解析(コサイン類似度)はまさにそれを使っている。

別解

この $2$ 本、実は立方体の中の有名な角を測っている。

$1$ 辺 $1$ の立方体を原点に置くと、$\vec{a}=(1,1,1)$ は空間の対角線(頂点から最も遠い頂点へ)、$\vec{b}=(1,1,0)$ は底面の対角線だ。問題の角は「立方体の対角線が底面から立ち上がる角」である。

しかも $\vec{b}$ は、$\vec{a}$ の $z$ 成分を $0$ にしたもの — つまり $\vec{a}$ を床(xy 平面)に落とした影そのものだ。影とのなす角の $\cos$ は

$$\cos \theta =\frac{|\text{影}|}{|\vec{a}|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

(影の長さ $\sqrt{2}$、本体 $\sqrt{3}$ の直角三角形 — 高さは残りの $z$ 成分 $1$。)内積の計算と一致する。

「片方が他方の影(射影)になっている」配置では、なす角は直角三角形の辺の比で読める。立方体の対角線が床となす角、というこの値($\theta \approx 35.3^{\circ }$)は結晶学や CG でも顔を出す定番の角だ。