正四面体の二面角(内積で求める)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 二面角は「共有辺に垂直な方向」で測る。$2$ つの面それぞれで、共有辺に垂直なベクトルを $1$ 本ずつ作り、そのなす角を内積で求める。

正四面体を座標に置くのが計算しやすい(立方体の交互の頂点を使うときれい)。共有辺の中点から、各面の第3頂点へ向かうベクトルは、その辺に垂直になる。

この $2$ 本のベクトルの内積を大きさの積で割れば $\cos \theta$。計算すると $\frac{1}{3}$ が出る。

① 座標を置く。 正四面体の頂点を $\mathrm{A}(1,1,1),\mathrm{B}(1,-1,-1),\mathrm{C}(-1,1,-1),\mathrm{D}(-1,-1,1)$ とする(各辺の長さ $2\sqrt{2}$)。共有辺を $\mathrm{CD}$ とし、面 $\mathrm{ACD}$ と面 $\mathrm{BCD}$ の二面角を測る。

② 辺に垂直なベクトルを作る。 $\mathrm{CD}$ の中点 $\mathrm{M}=(-1,0,0)$。$\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}=(2,1,1)$、$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}=(2,-1,-1)$。どちらも $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=(0,-2,2)$ と垂直($\vec{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0$ 等)なので、二面角を測る向きとして正しい。

③ 内積で $\cos \theta$。 $$\vec{u}\cdot \vec{v}=2\cdot 2+1\cdot (-1)+1\cdot (-1)=4-1-1=2,|\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.$$ $$\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{2}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$

まとめ 二面角は共有辺に垂直な向きで測る。中線が辺に垂直な性質を使い、内積で $\cos \theta =\frac{1}{3}$($\theta \approx 70.5^{\circ }$)。空間ベクトル(内積)と三角比の融合。

発展 — 一歩先へ。 二面角 $\arccos \frac{1}{3}\approx 70.5^{\circ }$ は、正四面体の中心から $2$ 頂点を見込む角 $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\approx 109.5^{\circ }$ と補い合う。この $109.5^{\circ }$ は、メタン分子($\mathrm{C}{\mathrm{H}}_4$)の $\mathrm{H}\text{-}\mathrm{C}\text{-}\mathrm{H}$ 結合角そのもの。炭素を中心に $4$ つの水素が正四面体状に並ぶ、化学で最も基本的な立体構造がここにある。

別解

別解 — 頂点から底面を見込む角で出す(得意な人向けの視点)。 二面角を、正四面体の“中心”から見た角度でも捉えられる。

正四面体の外接球の中心 $\mathrm{G}$ から $4$ 頂点へ向かうベクトルは、互いに等しい角をなす。その余弦は $-\frac{1}{3}$(頂点が最も散らばる配置)。実際、$4$ つの単位ベクトルの和が $\vec{0}$ になることから、${\vec{u}}_i\cdot {\vec{u}}_j=-\frac{1}{3}$($i\ne j$)が出る。

一方、面の外向き法線どうしのなす角は、この頂点方向の角と補角の関係にあり、二面角 $\theta$ は $\cos \theta =\frac{1}{3}$。

共有辺に垂直なベクトルを2本作る本解と、「中心から頂点への$4$方向が対称」というこの見方は、同じ $\frac{1}{3}$ を別の対称性から導く。$-\frac{1}{3}$(中心から見た角)と $\frac{1}{3}$(二面角)が表裏で現れるのが面白い。