数学C / 空間ベクトル

正四面体の内部の点から4面までの距離の和(ベクトルと体積)

実戦編空間ベクトル体積距離幾何単元横断

問題

正四面体の内部の点 $P$ から $4$ つの面までの距離の和は、 $P$ の位置によらず一定であることを示し、その値を四面体の高さ $h$ で表せ。

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$P$ から各面までの距離を高さ、その面を底面とする小四面体4つに分ける。体積の和は全体 $V$ 。面積がすべて等しいことを使うと、距離の和は?

解答・解説

方針

内部の点 $P$ と各面で $4$ つの小四面体を作ると、体積の和が全体 $V$ 。正四面体は $4$ 面の面積が等しいので、距離の和が一定になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 距離の和を直接追うのは大変。体積で考えるのが急所だ。

内部の点 $P$ と各面を結ぶと、四面体は $4$ つの小四面体に分かれる。各小四面体の体積は $\frac{1}{3} \times (面積) \times (P からその面までの距離)$ 。その和が全体の体積 $V$ 。

正四面体は $4$ 面の面積がすべて等しく $S_{0}$ 。だから $\frac{1}{3} S_{0} (d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4}) = V$ 、すなわち $d_{1} + \dots + d_{4} = \frac{3 V}{S _{0}} = h$ (高さ)で、 $P$ の位置によらず一定。

内部の点Pから4面への距離の和 d₁+d₂+d₃+d₄ は位置によらず一定(=高さh)

重要内部の点で四面体を

4

分割 →

\frac{1}{3} S_{0} (d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4}) = V

(小四面体の体積の和 = 全体)

① $4$ 分割して体積の和。 $P$ から各面までの距離を $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 、各面の面積を $S_{0}$ (正四面体なので共通)とする。 $P$ を頂点とする $4$ つの小四面体の体積の和が全体だから $\frac{1}{3} S_{0} d_{1} + \frac{1}{3} S_{0} d_{2} + \frac{1}{3} S_{0} d_{3} + \frac{1}{3} S_{0} d_{4} = V .$ ② 距離の和を出す。 左辺をまとめて $\frac{1}{3} S_{0} (d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4}) = V$ 。よって $d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4} = \frac{3 V}{S _{0}} .$ 右辺は $P$ によらない定数だから、距離の和は一定。

③ 高さで表す。 全体の体積は「 $1$ つの面を底面、対する頂点までの高さ $h$ 」でも $V = \frac{1}{3} S_{0} h$ 。これを代入すると $d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4} = \frac{3 V}{S _{0}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{3} S _{0} h}{S _{0}} = h .$ よって距離の和は四面体の高さ $h$ に等しい(一定)。

まとめ 内部の点で四面体を $4$ 分割すると体積の和が $V$ 。面積が等しい正四面体では距離の和が $\frac{3 V}{S _{0}} = h$ で一定。平面のヴィヴィアーニの定理の $3$ 次元版。空間(体積分割)と幾何の融合。

発展 — 一歩先へ。 「内部の点から各面までの距離の和が一定」は、平面のヴィヴィアーニの定理(正三角形)の立体版。一般の正 $n$ 単体でも、 $n + 1$ 面の面積が等しいので同じことが成り立つ。等面(すべての面が合同)な四面体なら、正四面体でなくても和は一定 — 面積が等しいことだけが効く。

答

$P$ と各面で作る $4$ つの小四面体の体積の和が全体の体積 $V$ 。各面の面積は等しく $S_{0}$ なので $\frac{1}{3} S_{0} (d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4}) = V$ 。 $d_{1} + \dots + d_{4} = \frac{3 V}{S _{0}} = h$ (一定)。

別解

別解 — 平面版「ヴィヴィアーニの定理」の立体版として(得意な人向けの視点)。 この事実は、平面の有名な定理の3次元版だ。平面では「正三角形の内部の点から $3$ 辺までの距離の和は一定(高さに等しい)」(ヴィヴィアーニの定理)。証明はやはり面積分割:点と各辺で $3$ つの三角形に分け、面積の和 $=$ 全体。

立体でも同じ論法。正四面体を、内部の点 $P$ と各面で $4$ つの小四面体に分ける。 $4$ 面の面積が等しい( $S_{0}$ )から

$V = \frac{1}{3} S_{0} d_{1} + \frac{1}{3} S_{0} d_{2} + \frac{1}{3} S_{0} d_{3} + \frac{1}{3} S_{0} d_{4} = \frac{1}{3} S_{0} (d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4}) .$

$V, S_{0}$ は $P$ によらないから、和 $d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4} = \frac{3 V}{S _{0}} = h$ (高さ)も一定。

「面積で分割 → 底面積が共通なら和が一定」という発想が、平面(三角形)と立体(四面体)で完全に平行している。次元を1つ上げても同じ論法が効く好例だ。

ポイント

内部の点で四面体を4つの小四面体に分ける。
体積の和 $\frac{1}{3} S_{0} (d_{1} + \dots + d_{4}) = V$ 。
$4$ 面が等積の正四面体では距離の和 $= \frac{3 V}{S _{0}} = h$ (一定)。

よくある間違い

距離の和を座標で直接追い、 $4$ つの平面の方程式から個別に計算して煩雑になる(体積分割が本筋)。
小四面体の体積を $\frac{1}{3} S_{0} d$ でなく $S_{0} d$ とする( $\frac{1}{3}$ を落とす)。
正四面体でない一般の四面体でも和が一定と思い込む( $4$ 面の面積が等しいことが本質)。