空間ベクトルの垂直条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 垂直の判定は、空間でも内積 $=0$ だ。

$$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$

この道具しかない。そして、この道具で十分だ。

内積を、$k$ の式で表す。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 2+2\times k+3\times (-2)=2+2k-6=2k-4$$

これを $0$ とおく。

$$2k-4=0⟹k=2$$

平面のときと、手順はまったく同じ。 項が $1$ つ増えただけだ。

空間での「垂直」は、図では確かめにくい。

$2$ 本の矢印が、$3$ 次元空間の中で、本当に直角をなしているか — 見た目では分からない。

だが、内積が $0$ なら、それは間違いなく垂直である。

「計算が、目より確かだ」 — 空間ベクトルの、いちばんの利点がこれだ。

① 内積 $=0$ を書く。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 2+2\cdot k+3\cdot (-2)=2+2k-6=2k-4=0$$

② 解く。

$$2k=4\Rightarrow k=2$$

まとめ:空間でも垂直は「内積 $=0$」。$3$ 成分の内積 $=0$ を $k$ について解く。平面と全く同じ考え方で、成分が $1$ つ増えただけだ。

発展 — 一歩先へ。 法線ベクトルを使うと、点と平面の距離が、一瞬で求まる。

公式。

$$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0-e|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

平面 $ax+by+cz=e$ と、点 $(x_0,y_0,z_0)$ の距離。

この式は、どこから来るのか。

法線方向への"射影"だ。

平面上の任意の点 $\mathrm{P}$ から、目的の点 $\mathrm{A}$ へのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ を考える。

求める距離は、$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ を法線方向へ射影した長さである。

$$d=\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$$

「法線方向の単位ベクトルとの内積」 — つまり、影の長さだ。

これを成分で書き下すと、上の公式になる。

平面の方程式の係数($a,b,c$)が、そのまま法線ベクトルだったおかげで、こんなに簡単に書ける。

平面($2$ 次元)の「点と直線の距離」の公式も、まったく同じ構造だった。

$$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

$1$ 次元上げても、形が変わらない。

そして、$n$ 次元でも同じ。

$$d=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{x_0}-e|}{|\vec{n}|}$$

この公式は、機械学習の中心にある。

サポートベクターマシン(SVM)という手法。

「$2$ 種類のデータを、$1$ 枚の平面(超平面)で分ける」

そして、「その平面から、いちばん近いデータ点までの距離(マージン)を、最大にする」

マージンが大きいほど、分類が"余裕をもって"できている。

この「距離を最大化する」という最適化問題を解くのが、SVM だ。

そこで使われる距離の式が、まさに上の公式である。

$$\text{マージン}=\frac{|\vec{w}\cdot \vec{x}+b|}{|\vec{w}|}$$

$\vec{w}$ は、分離超平面の法線ベクトル。

画像認識、スパムフィルタ、医療診断 — $2000$ 年代の機械学習を席巻した手法が、この $1$ 行の距離公式に支えられている。

「点と平面の距離」という、高校の教科書に載っている公式。

それが、$100$ 次元、$1000$ 次元の空間で、データを分類する武器になる。

次元が上がっても、公式は変わらない。

それが、ベクトルという言語の、恐るべき普遍性である。

別解

「$\vec{a}$ に垂直なベクトル」は $1$ つではない。その全体が"平面"をなす。

平面($2$ 次元)では、あるベクトルに垂直な方向は、($\pm$ を除いて)$1$ つしかなかった。

だが空間($3$ 次元)では、事情が変わる。

$\vec{a}=(1,2,3)$ に垂直なベクトルを、いくつか探してみよう。

条件は $\vec{a}\cdot \vec{x}=0$、つまり

$$x+2y+3z=0$$

この式を満たす $(x,y,z)$ を、$3$ つ挙げる。

$$(2,2,-2):2+4-6=0✓$$ $$(3,0,-1):3+0-3=0✓$$ $$(0,3,-2):0+6-6=0✓$$

どれも $\vec{a}$ に垂直だ。

この問題の答え $(2,2,-2)$ も、その $1$ つにすぎない。

では、垂直なベクトルは、全部でいくつあるのか。

無数にある。 そして、それらの終点は — $1$ 枚の平面を作る。

$$x+2y+3z=0$$

これは、原点を通る平面の方程式だ。

「$\vec{a}$ に垂直なベクトルの全体 $=$ 原点を通る平面」

この事実から、重要な概念が生まれる。

法線ベクトル。

平面 $ax+by+cz=d$ に対して、$\vec{n}=(a,b,c)$ が、その平面に垂直なベクトルになる。

平面の方程式の係数が、そのまま法線ベクトルの成分だ!

確かめよう。 平面 $x+2y+3z=0$ 上の $2$ 点を取る。

$$\mathrm{P}(3,0,-1),\mathrm{Q}(0,3,-2)$$

$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-3,3,-1)$$

$$\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=1\times (-3)+2\times 3+3\times (-1)=-3+6-3=0✓$$

平面上のどんな方向とも、$\vec{n}$ は垂直だ。

この「法線ベクトル」という考え方が、空間図形の計算を劇的に簡単にする。

• $2$ 平面のなす角 → 法線ベクトルのなす角
• 点と平面の距離 → 法線方向への射影
• 平面の方程式を求める → 法線ベクトルと通る点があればよい

そして、CG(コンピュータグラフィックス)では、法線ベクトルが「光の当たり方」を決める。

面の法線と、光源の方向の内積を計算する。

$$\text{明るさ}\propto \vec{n}\cdot \vec{\ell }$$

内積が大きい(真正面から光が当たる)ほど、明るい。

内積が $0$(横から)なら、暗い。

あなたが見るゲームの $3$ D映像は、$1$ 秒間に何億回、この内積を計算している。

「垂直 $=$ 内積 $0$」という素朴な条件。

それが、平面を定義し、光を描き、$3$ D の世界を作っている。