空間の三角形の重心

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 空間の重心も、$3$ 頂点の平均だ。

$$\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$$

座標ごとに、$3$ つの平均をとる。

$$x=\frac{1+4+1}{3}=\frac{6}{3}=2$$

$$y=\frac{2+2+5}{3}=\frac{9}{3}=3$$

$$z=\frac{0+3+0}{3}=\frac{3}{3}=1$$

$$\mathrm{G}(2,3,1)$$

平面の重心と、まったく同じ公式。 座標が $1$ つ増えただけだ。

注意すべき点が $1$ つある。

$3$ 点が空間に散らばっていても、それらは必ず$1$ 枚の平面の上に乗る。

($3$ 点があれば、平面が $1$ つに決まる。)

だから、この三角形は「空間に浮かぶ、平らな三角形」だ。

その重心を求めている、というわけである。

空間だからといって、特別なことは何もない。

$$\mathrm{G}=\frac{(1,2,0)+(4,2,3)+(1,5,0)}{3}=\frac{(6,9,3)}{3}=(2,3,1)$$

まとめ:空間の重心も「$3$ 頂点の平均」。$\frac{1+4+1}{3}=2$、$\frac{2+2+5}{3}=3$、$\frac{0+3+0}{3}=1$。平面と全く同じで、$z$ 座標が加わるだけだ。

発展 — 一歩先へ。 空間には、三角形の重心のほかに、四面体の重心がある。

$4$ 頂点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ の四面体。 その重心は?

予想はつくだろう。

$$\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}+\mathrm{D}}{4}$$

$4$ 頂点の平均だ。

そして、三角形の「中線 $2:1$」に対応する性質もある。

四面体の頂点 $\mathrm{A}$ と、向かい合う面 $\mathrm{BCD}$ の重心 ${\mathrm{G}}_{\mathrm{A}}$ を結ぶ線分を考える。

$4$ 本の線分($4$ つの頂点それぞれについて)が、$1$ 点で交わる。

そして、その点は、線分を頂点から $3:1$ に内分する。

三角形では $2:1$、四面体では $3:1$。

規則が見える。

$$n\text{ 次元の単体では、}n:1$$

$1$ 次元(線分)では $1:1$(中点)。 $2$ 次元(三角形)では $2:1$。 $3$ 次元(四面体)では $3:1$。

証明も、同じ形でできる。

$$\mathrm{G}=\mathrm{A}+\frac{n}{n+1}\left({\mathrm{G}}_{\mathrm{A}}-\mathrm{A}\right)$$

ここで ${\mathrm{G}}_{\mathrm{A}}$ は、残り $n$ 個の頂点の平均。 展開すると、全体の平均になる。

次元が上がっても、構造は変わらない。

そして、この「重心」は、物理的な意味をもつ。

四面体の板($1$ 様な密度)を、この点で支えれば、釣り合う。

さらに、$4$ 点に等しい重さのおもりを置いたときの、釣り合いの点でもある。

「重心 $=$ 平均」という、単純な事実。

それが、$n$ 次元でも変わらずに成り立つ。

そして、この考え方は統計学に直結する。

データの平均は、データ点の"重心"だ。

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$

$n$ 個のデータを、$n$ 個の質点だと思えば、平均はその重心。

そして、「平均からの距離の $2$ 乗の和が最小になる点」も、平均である。

$$\sum (x_i-a{)}^2\text{を最小にする }a=\bar{x}$$

重心は、「みんなから、いちばん近い点」なのだ。

三角形の重心も、そういう点である。

$3$ 頂点からの距離の $2$ 乗の和を最小にする点 — それが重心だ。

「平均」という、小学校で習った素朴な概念。

それが、幾何の重心であり、統計の中心であり、最適化の解でもある。

$\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$ という $1$ 行に、これだけの意味が詰まっている。

別解

「中線を $2:1$ に内分する」で、空間でも重心が求まることを確かめる。

平面で成り立った定理が、空間でも成り立つか。 検証してみよう。

まず、$\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ を求める。

$$\mathrm{M}=\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}=\left(\frac{4+1}{2},\frac{2+5}{2},\frac{3+0}{2}\right)=(2.5,3.5,1.5)$$

中線 $\mathrm{AM}$ を、$\mathrm{A}$ から $2:1$ に内分する。

つまり、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{M}$ へ、全体の $\frac{2}{3}$ 進む。

$$\mathrm{M}-\mathrm{A}=(2.5-1,3.5-2,1.5-0)=(1.5,1.5,1.5)$$

$$\frac{2}{3}\times (1.5,1.5,1.5)=(1,1,1)$$

$$\mathrm{G}=\mathrm{A}+(1,1,1)=(1,2,0)+(1,1,1)=(2,3,1)$$

本解と同じ ✓

空間でも、「重心は中線を $2:1$ に内分する」が成り立った。

別の中線でも確かめよう。 $\mathrm{CA}$ の中点 $\mathrm{N}$ は

$$\mathrm{N}=\frac{\mathrm{C}+\mathrm{A}}{2}=(1,3.5,0)$$

$$\mathrm{N}-\mathrm{B}=(1-4,3.5-2,0-3)=(-3,1.5,-3)$$

$$\mathrm{G}=\mathrm{B}+\frac{2}{3}(-3,1.5,-3)=(4,2,3)+(-2,1,-2)=(2,3,1)$$

同じ点 ✓

$3$ 本の中線が、確かに $1$ 点で交わっている。

なぜ、平面の定理が、そのまま空間でも成り立つのか。

答えは単純だ。

$3$ 点は、必ず $1$ 枚の平面上にある。

だから、「三角形の中の話」は、その平面の中で完結する。

空間に浮いていようが、傾いていようが、三角形は三角形だ。

「平面図形の定理は、空間に置かれた平面図形でも、そのまま成り立つ」

この当たり前の事実が、空間図形の問題を解く鍵になる。

空間の問題を見たら、「どこかに平面を見つけられないか」と探す。

• $3$ 点があれば、平面が決まる
• $2$ 直線が交われば、平面が決まる
• 立体を切れば、断面という平面が現れる

平面に落とし込めれば、あとは中学・高校で習った平面幾何の全知識が使える。

「空間 → 平面への帰着」

これが、空間図形の問題の、いちばん強力な戦略なのだ。

空間ベクトルの計算は、その帰着を「座標」の言葉で自動的にやってくれる。

図が描けなくても、計算が正しい答えを出す。