数学C / 空間ベクトル

一次独立なベクトルによる分解

★★★ 応用1次結合

問題

$a = (1, 0, 0)$ 、 $b = (1, 1, 0)$ 、 $c = (1, 1, 1)$ とする。 $d = (3, 2, 1)$ を $s a + t b + u c$ の形に表せ。

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成分で書くと $3$ 元連立だが、係数が階段状 — $z$ 成分から順に決まっていく仕掛けになっている。下から順に攻めよう。

解答・解説

成分ごとに比べて $s, t, u$ の連立方程式を作る。 $z$ 成分 → $y$ 成分 → $x$ 成分の順に、決まるものから解くと速い。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 一次独立な $3$ ベクトルによる分解は、成分ごとの連立方程式に帰着する。

$z$ 成分から始めると $u$ が即決まる。続いて $y$ 成分で $t$ 、 $x$ 成分で $s$ と、芋づる式に解ける。

「上三角の連立は、決まる成分から順に解く」という効率化の発想だ。

重要

3

ベクトルの

1

次結合は成分比較で連立。決まる成分から順に解く

① 成分で書く。

$s a + t b + u c = (s + t + u, t + u, u)$

② $d = (3, 2, 1)$ と成分比較する。

$⎩ ⎨ ⎧ s + t + u = 3 t + u = 2 u = 1$

③ 下から順に解く。 $u = 1$ 。 $t + u = 2$ から $t = 1$ 。 $s + t + u = 3$ から $s = 1$ 。

$d = a + b + c$

d=(3,2,1)=a+b+c。a=(1,0,0), b=(1,1,0), c=(1,1,1) の和でたどり着く

まとめ:一次独立な $3$ ベクトルなら、空間のどんなベクトルも一意に分解できる。この $a, b, c$ は「階段状」なので、 $z$ 成分( $u$ )から $y$ 、 $x$ と順に決まる。上三角の連立で解きやすい形だ。

発展 — 一歩先へ。 この $a, b, c$ が「どんな $d$ でも一意に分解できる」のは、 $3$ 本が一次独立だから。空間の座標系(基底)として使える、ということだ。

一次独立かどうかは、 $3$ 本を並べた行列の行列式が $0$ でないかで判定できる。ここは $a, b, c$ を並べると右下がりの三角形の形になり、行列式は対角成分の積 $1 \times 1 \times 1 = 1 \neq = 0$ 。だから確かに基底になっている。

分解の係数 $(s, t, u)$ は、 $d$ を新しい座標系で読んだ「座標」にあたる。基底をうまく選ぶと、この問題のように連立が階段状になり、上から順・下から順に一息で解ける。基底の取り替えは、見やすい座標へ問題を移す操作だ。

答

$d = a + b + c$ ( $s = t = u = 1$ )

別解 — 差でできる基本ベクトルに読み替える(得意な人向けの視点)。 $a, b, c$ の差をとると、見慣れた基本ベクトルが現れる。

$a = (1, 0, 0), b - a = (0, 1, 0), c - b = (0, 0, 1) .$

つまり $a$ 、 $b - a$ 、 $c - b$ は $x, y, z$ 軸方向の単位ベクトルそのもの。だから $d = (3, 2, 1)$ は、この $3$ 本で $3 a + 2 (b - a) + 1 (c - b)$ とすぐ書ける。

これを $a, b, c$ について整理する。

$3 a + 2 (b - a) + (c - b) = (3 - 2) a + (2 - 1) b + c = a + b + c .$

連立を下から順に解く本解と同じ $s = t = u = 1$ 。 $d$ の成分 $(3, 2, 1)$ が、そのまま「差の基本ベクトル」で見たときの座標になっている、というしくみだ。