空間ベクトルの平行条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平行とは、一方が他方の実数倍ということだ。

$$\vec{b}=k\vec{a}$$

$x$ 成分を見る。

$$2=k\times 1⟹k=2$$

倍率は $2$ だ。

$y$ 成分でも確認する。

$$4=2\times 2✓$$

確かに $2$ 倍になっている。

なら、$z$ 成分も $2$ 倍のはず。

$$k=2\times 3=6$$

答えは $6$。

「すべての成分が、同じ倍率になる」 — これが平行の条件だ。

$1$ つの成分だけ倍率が違えば、それは平行ではない。

空間では、平面のような「たすきがけ」の $1$ 本の式では書けない。

代わりに、外積を使えば $1$ 本の条件式になる。 それは別解で見よう。

① 実数倍とおく。 $\vec{b}=t\vec{a}$。

② $t$ を決める。 $x$ 成分:$2=t\cdot 1$ より $t=2$。$y$ 成分も $4=2\cdot 2$ で整合。

③ $k$ を決める。 $z$ 成分:$k=t\cdot 3=2\cdot 3=6$。

$$k=6$$

まとめ:空間の平行は「実数倍 $\vec{b}=t\vec{a}$」。まず確実に決まる成分($x$)から $t$ を出し、残りの成分で未知数を決める。$3$ 成分すべてが同じ比になる。

発展 — 一歩先へ。 外積は、なぜ $3$ 次元にしか存在しないのか。

「$2$ つのベクトルに垂直な方向」を考えてみよう。

$2$ 次元(平面)では?

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る空間は、平面全体。 「両方に垂直な方向」は、平面の外にある。

平面の中には、存在しない。

$3$ 次元では?

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張るのは、$1$ 枚の平面。 それに垂直な方向は、ちょうど $1$ 本の直線($\pm$ の $2$ 方向)。

向きを右ねじの法則で決めれば、ただ $1$ つに定まる。

$4$ 次元では?

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張るのは、$2$ 次元の平面。 それに垂直な空間は、$2$ 次元分ある($4-2=2$)。

「両方に垂直なベクトル」が、無数にある。 $1$ つに決まらない。

$$\boxed{\text{外積が定義できるのは、3 次元(と 7 次元)だけ}}$$

($7$ 次元にも、八元数という数の体系を使うと、外積が定義できる。数学の不思議な事実だ。)

「我々の空間が $3$ 次元である」ということが、外積の存在を許している。

そして、外積が存在するからこそ、$3$ 次元には"回転"という豊かな構造が生まれる。

角運動量、トルク、磁場のローレンツ力 — すべて外積で書かれる。

$$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p},\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F},\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$$

「なぜ、磁場の中で動く電荷は、横向きに曲げられるのか?」

答え: 外積が、$2$ つのベクトルに垂直な方向を指すからだ。

この一見奇妙な物理法則は、$3$ 次元空間の幾何学的な構造そのものに由来している。

さらに、外積は"体積"にもつながる。

$3$ つのベクトルが作る平行六面体の体積は

$$V=\left|\left(\vec{a}\times \vec{b}\right)\cdot \vec{c}\right|$$

スカラー三重積という。

外積で「底面の面積(と法線方向)」を出し、それと $\vec{c}$ の内積で「高さ」を掛ける。

$$\text{体積}=\text{底面積}\times \text{高さ}$$

小学校で習った公式が、ベクトルの演算として復活する。

そして、この値が $0$ なら、$3$ つのベクトルは同一平面上にある(平行六面体がつぶれる)。

$4$ 点が同一平面上にあるかどうかの判定に、この式が使える。

平行、垂直、面積、体積、同一平面 — 空間図形のあらゆる判定が、内積と外積という $2$ つの演算に集約される。

$k=6$ を求めるだけの、素朴な平行条件。

その裏に、$3$ 次元空間の特別さが宿っている。

別解

外積を使って、平行を $1$ 本の式で判定する。

平面では、平行の条件が「たすきがけ $=0$」という $1$ 本の式で書けた。

$$a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$$

空間では、この"たすきがけ"が $3$ 成分に増える。

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)$$

これを外積(ベクトル積)という。

平行の条件は、こうなる。

$$\vec{a}//\vec{b}⟺\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$$

この問題で確かめよう。 $\vec{a}=(1,2,3)$、$\vec{b}=(2,4,k)$。

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left(2k-3\times 4,3\times 2-1\times k,1\times 4-2\times 2\right)$$

$$=(2k-12,6-k,0)$$

$\vec{0}$ になるには、すべての成分が $0$ でなければならない。

$$2k-12=0⟹k=6$$ $$6-k=0⟹k=6$$

どちらの式からも、$k=6$ ✓

$2$ つの条件が、同じ答えを与える。 これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が本当に平行になれる、ということの確認でもある。

(もし $2$ つの式から違う $k$ が出たら、どんな $k$ でも平行にはならない、ということだ。)

外積の意味。

外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ は、次の $2$ つの性質をもつ。

① $\vec{a}$ にも $\vec{b}$ にも垂直($2$ つが張る平面の法線方向)

② 大きさは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積

$$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$$

平行($\theta =0^{\circ }$ または $180^{\circ }$)なら、$\sin \theta =0$。

平行四辺形が、ぺしゃんこにつぶれる。 面積 $0$。

$$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$$

「平行 $=$ 平行四辺形の面積が $0$」

平面のときと、まったく同じ意味だった。 ただ、$3$ 次元では、面積を"ベクトル"として表す(法線方向を向いた、大きさが面積のベクトル)。

内積と外積の対比を、もう一度。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta ⟶\text{0 なら垂直}$$

$$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta ⟶\text{0 なら平行}$$

$\cos$ と $\sin$。 きれいに対をなしている。

そして、この $2$ つを組み合わせると

$$(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2+|\vec{a}\times \vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2\left({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \right)=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2$$

三角関数の基本公式(${\sin }^2+{\cos }^2=1$)が、ベクトルの世界に現れる。

ラグランジュの恒等式と呼ばれる、美しい関係だ。