点と平面の距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 点と平面の距離は、点と直線の距離の空間版で、公式に代入するだけ。

平面を $ax+by+cz+d=0$ の形($2x-y+2z-3=0$)に直す。

点の座標を分子に、係数の $2$ 乗和の平方根を分母にする。

分母は法線ベクトル $(2,-1,2)$ の大きさ、と見通す。

① 公式に代入する。 平面は $2x-y+2z-3=0$、点は $(1,2,3)$。分子は

$$|2\cdot 1-1\cdot 2+2\cdot 3-3|=|2-2+6-3|=|3|=3$$

② 分母(法線の大きさ)。

$$\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$$

③ 距離。

$$\frac{3}{3}=1$$

まとめ:点と平面の距離は「$\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$」。平面を $=0$ の形にして代入。分母は法線ベクトル $(2,-1,2)$ の大きさ $3$。距離は $\frac{3}{3}=1$。

発展 — 一歩先へ。 この公式の分子 $|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|$ は、平面上の点から $\mathrm{P}$ へ向かうベクトルを、法線 $(a,b,c)$ 方向に射影した長さ($\times$ 法線の大きさ)。それを法線の大きさ $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ で割ると、正味の距離になる。

$2$ 次元の点と直線の距離 $\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ と、まったく同じ形。次元が $1$ つ増えて項が $1$ つ増えただけだ。

一般に $n$ 次元の超平面でも同じ公式が使える。距離を測る本質は「法線方向にどれだけ離れているか」。射影の考えが、次元によらず貫いている。

別解

別解 — 垂線の足を実際に求める(得意な人向けの視点)。 公式を使わず、$\mathrm{P}$ から平面へおろした垂線の足 $\mathrm{H}$ を出して、$|\mathrm{PH}|$ を測ってもよい。

平面 $2x-y+2z=3$ の法線は $\vec{n}=(2,-1,2)$。垂線は $\mathrm{P}(1,2,3)$ から $\vec{n}$ 方向に進むので、$\mathrm{H}=\mathrm{P}+t\vec{n}=(1+2t,2-t,3+2t)$。

$\mathrm{H}$ が平面上にある条件から $t$ を決める。

$$2(1+2t)-(2-t)+2(3+2t)=3⟹9t+6=3⟹t=-\frac{1}{3}.$$

距離は $|\mathrm{PH}|=|t\vec{n}|=|t||\vec{n}|=\frac{1}{3}\cdot 3=1$。

公式に代入する本解と同じ $1$。垂線の足を経由すると、「法線方向に $t$ だけ進んで平面に届く」という距離の意味がはっきり見える。$|t||\vec{n}|$ が距離になる。