球面の方程式(直径の両端)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「直径の両端 $\mathrm{A},\mathrm{B}$」が与えられたら、中心は $\mathrm{AB}$ の中点、半径は $\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|$、とすぐ分かる。

中心と半径が出れば、球面の方程式 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$ に入れるだけ。

$|\mathrm{AB}|$ は、$3$ 成分の差の $2$ 乗和の平方根で計算する。

円のときと同じ考え方が、そのまま空間で通用する、と見通す。

① 中心(中点)。

$$\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+4}{2},\frac{3+5}{2}\right)=(2,3,4)$$

② 半径。 $|\mathrm{AB}|=\sqrt{(3-1{)}^2+(4-2{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ だから

$$r=\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|=\sqrt{3}$$

③ 方程式。

$$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-4{)}^2=3$$

まとめ:直径を与えた球面は「中心 = 中点、半径 = 直径の半分」。中心 $(2,3,4)$、半径 $\sqrt{3}$($r^2=3$)。円のときと同じ考え方が空間でも通用する。

発展 — 一歩先へ。 平面での「直径 $\mathrm{AB}$ の円」が、そのまま「直径 $\mathrm{AB}$ の球」に持ち上がる。円周上の点 $\mathrm{P}$ が $\angle \mathrm{APB}=90°$ を満たすタレスの定理は、球面でも同じ。球面上のどの $\mathrm{P}$ でも $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$ になる。

だから球面はベクトル方程式 $(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$ でも書ける。展開すれば、中心 $(2,3,4)$・半径 $\sqrt{3}$ の標準形が出る。

$2$ 次元の円と $3$ 次元の球は、成分が $1$ つ増えるだけで構造は同じ。中点が中心、直径の半分が半径。次元をまたいで通じる考え方だ。

別解

別解 — 球面のベクトル方程式を展開する(得意な人向けの視点)。 直径 $\mathrm{AB}$ の球面は、球面上の点 $\mathrm{P}$ で $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BP}}$(タレスの定理の空間版)。ベクトル方程式は

$$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0.$$

$\vec{p}=(x,y,z)$、$\mathrm{A}(1,2,3)$、$\mathrm{B}(3,4,5)$ を代入する。

$$(x-1)(x-3)+(y-2)(y-4)+(z-3)(z-5)=0.$$

展開して整理すると $x^2+y^2+z^2-4x-6y-8z+26=0$。各変数を平方完成して

$$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-4{)}^2=4+9+16-26=3.$$

中心 $(2,3,4)$、半径 $\sqrt{3}$。

中点と $\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|$ から出す本解と同じ。展開すると、内積 $0$ の式が球の標準形に化ける。中点 $(2,3,4)$ が平方完成の中心に、直径の半分 $\sqrt{3}$ が半径に現れる。円の直径形($(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$)が、そのまま球で使える。