数学C / 空間ベクトル

基本ベクトルによる分解

★★ 標準1次結合

問題

$a = (2, 3, 4)$ を、基本ベクトル $e_{1} = (1, 0, 0)$ 、 $e_{2} = (0, 1, 0)$ 、 $e_{3} = (0, 0, 1)$ の $1$ 次結合で表せ。

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基本ベクトルの $1$ 次結合は、実は成分表示そのものの言い換え。成分がそのまま係数になる。

解答・解説

方針

基本ベクトルの $1$ 次結合の係数は、そのまま各成分になる。 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 基本ベクトル $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ は各座標軸方向の「長さ $1$ の物差し」。任意のベクトルの $1$ 次結合への分解は

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}$

— 成分がそのまま係数になる。 $(2, 3, 4) = 2 e_{1} + 3 e_{2} + 4 e_{3}$ で完了だ。

計算というより「成分表示の意味の確認」— 座標とは、基本ベクトルによる分解の係数の別名である。

公式

(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}

(成分 = 基本ベクトルの係数)

基本ベクトルは $x, y, z$ 軸方向の単位ベクトル。 $a$ の各成分がそのまま係数になる。

$a = (2, 3, 4) = 2 (1, 0, 0) + 3 (0, 1, 0) + 4 (0, 0, 1) = 2 e_{1} + 3 e_{2} + 4 e_{3}$

(2,3,4)=2e₁+3e₂+4e₃。x に2, y に3, z に4 進む

まとめ:空間の成分表示 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ は、 $3$ つの基本ベクトルの $1$ 次結合そのもの。係数 = 成分。ベクトルの成分の意味(各軸方向にどれだけ進むか)がよく分かる基本だ。

発展 — 一歩先へ。 基本ベクトルの真価は「取り替えられる」ことにある。 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ の代わりに、平行六面体の $3$ 辺のような斜めの $3$ 本(一次独立なら何でも)を物差しにしても、任意のベクトルはただ $1$ 通りに分解できる — そのときの係数を求めるのが「 $1$ 次結合で表せ」型の応用問題で、連立方程式が登場する。

「空間は $3$ 本で張れる、 $4$ 本目は必ず余分(先の $3$ 本で書ける)」— この「次元 $= 3$ 」という言明の正確な意味が、基本ベクトルの分解の一意性である。線形代数の「基底」と「次元」の概念が、この単純な問題の中にすでに全部ある。

答

$a = 2 e_{1} + 3 e_{2} + 4 e_{3}$

別解

この式を道順の住所として読むと、成分表示の意味が体に入る。

$(2, 3, 4)$ という行き先へは — 東( $e_{1}$ 方向)へ $2$ 歩、北( $e_{2}$ )へ $3$ 歩、上( $e_{3}$ )へ $4$ 歩。

$2 e_{1} + 3 e_{2} + 4 e_{3}$

は、この $3$ 段の階段をベクトルの足し算で書いたものだ。 $2 \times 3 \times 4$ の直方体の対角線をたどる絵を描くと、途中の角 $(2, 0, 0)$ 、 $(2, 3, 0)$ を経由する折れ線が見える。

歩く順番は自由(ベクトルの和は交換可能 — 先に上へ $4$ 歩でも同じ角に着く)で、しかもこの歩数の組はただ $1$ 通り。もし $2 e_{1} + 3 e_{2} + 4 e_{3} = s e_{1} + t e_{2} + u e_{3}$ なら、成分を比べて $s = 2, t = 3, u = 4$ しかない(一次独立)。

「座標 $=$ 東西・南北・上下の歩数」「一意 $=$ 住所は $1$ つ」— どんな複雑な分解の問題も、この単純な絵の一般化である。

ポイント

成分 = 基本ベクトルの係数。
$e_{1}, e_{2}, e_{3}$ は各軸方向の単位ベクトル。

よくある間違い

$e_{1}, e_{2}, e_{3}$ の対応する軸(どれが $x$ 方向か)を取り違える
係数を求める計算(連立)を始めてしまう(基本ベクトルなら成分がそのまま係数)
$1$ 次結合の「結合」を積( $2 e_{1} \cdot 3 e_{2}$ 等)と誤解する(実数倍の和)