空間ベクトルの大きさの最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 空間でも、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ の最小化は平面とまったく同じ手が通る。$2$ 乗を内積で開くと

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{b}{|}^2{t}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b})t+|\vec{a}{|}^2=2t^2+2t+2$$

($\vec{a}\cdot \vec{b}=1$、$|\vec{a}{|}^2=|\vec{b}{|}^2=2$。)$t$ の $2$ 次関数の頂点で最小 — $t=-\frac{1}{2}$。

成分が $3$ つでも、展開した後は $1$ 変数 $t$ の話 — 次元の増加は係数の計算にしか現れない。

① 各量を求める。 $|\vec{b}{|}^2=1^2+1^2+0=2$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0=1$、$|\vec{a}{|}^2=1^2+0+1^2=2$。

② $t$ の $2$ 次関数にする。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=2t^2+2\cdot 1\cdot t+2=2t^2+2t+2$$

③ 最小の $t$ を求める。 頂点の $t$ は $-\frac{2}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2}$。

$$t=-\frac{1}{2}$$

まとめ:$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ の最小は、空間でも平面と全く同じで「$t$ の $2$ 次関数の頂点」。$3$ 成分の内積・大きさを使うだけ。最小のとき $\vec{a}+t\vec{b}\perp \vec{b}$(垂線)。

発展 — 一歩先へ。 最小値そのものは $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=2{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+2\left(-\frac{1}{2}\right)+2=\frac{3}{2}$ — これは「原点と直線の距離の $2$ 乗」。点と直線の距離が、空間では公式でなくこの最小化として計算される(平面の $\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ にあたる既製公式が、空間の直線にはない)。

垂線の足 $\vec{a}-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}$ は正射影の直交成分。CG のライティング・機械学習の誤差最小化 — 「垂らして最短」はあらゆる近似計算の心臓部である。

別解

平面版と同じ垂線の絵が、空間でもそのまま通用する。

$\vec{a}+t\vec{b}$ は「点 $\vec{a}$ を通り方向 $\vec{b}$ の直線」上の点。その原点からの距離が最小になるのは垂線の足 — つまり最小の瞬間

$$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{b}=0⟺t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}=-\frac{1}{2}$$

展開せず $1$ 次方程式 $1$ 本で終わり。

注目すべきは、この論法が次元を一切問わないこと。垂直条件の式には「平面か空間か」の情報がどこにも入っていない — 内積さえ定義できれば、$3$ 次元でも $100$ 次元でも「最短 $=$ 垂線の足」で同じ $t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$ が出る。

成分計算(次元が上がると手間が増える)より、内積の関係式(次元によらない)で考える — 空間ベクトルの学習で身につけたい「座標を離れる」視点の、手頃な練習台である。