平面のベクトル方程式(法線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 原点を通り法線 $\vec{n}$ の平面とは、「原点からの位置ベクトルが $\vec{n}$ と垂直な点の集まり」。式にすれば

$$\vec{n}\cdot \vec{p}=0$$

判定は内積 $1$ 回。$\vec{p}=(2,-1,0)$ で

$$\vec{n}\cdot \vec{p}=1\cdot 2+2\cdot (-1)+2\cdot 0=0$$

内積 $0$ — 位置ベクトルが法線と垂直なので、点は平面上にある。

① 平面の方程式を書く。 $\vec{n}=(1,2,2)$ なので

$$\vec{n}\cdot \vec{p}=x+2y+2z=0$$

② 点を代入して調べる。 $(2,-1,0)$ を左辺に。

$$1\cdot 2+2\cdot (-1)+2\cdot 0=2-2+0=0$$

$0$ になるので、点 $(2,-1,0)$ は平面上にある。

まとめ:平面は「法線ベクトルに垂直な点の集まり」。原点を通るなら $\vec{n}\cdot \vec{p}=0$、成分で $n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z=0$。点を代入して $0$ なら平面上。法線の成分が平面の方程式の係数になる。

発展 — 一歩先へ。 $\vec{n}\cdot \vec{p}=0$ を成分で書けば $x+2y+2z=0$ — 平面の方程式は $1$ 次式で、係数がそのまま法線になる。数IIの直線 $ax+by+c=0$ の $(a,b)$ が法線だったのと同一の構造で、次元が $1$ つ上がっただけだ。

「$1$ 次方程式の係数 $=$ 法線」という対応は、平面どうしのなす角(法線のなす角)、平面と直線の交点、距離の公式 — 空間図形の計量のほぼすべての入り口になる。ベクトル方程式 $\vec{n}\cdot \vec{p}=0$ と成分の $1$ 次式は、同じ平面の $2$ つの表記として自在に行き来できるようにしておきたい。

別解

内積 $\vec{n}\cdot \vec{p}$ の値そのものに、平面からの距離という意味がある — $0$ かどうかの判定を超えて読んでみよう。

法線方向の単位ベクトルは $\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$($|\vec{n}|=\sqrt{1+4+4}=3$)。任意の点 $\vec{p}$ に対して

$$\frac{\vec{n}\cdot \vec{p}}{|\vec{n}|}$$

は「$\vec{p}$ の法線方向成分」— つまり点が平面からどれだけ浮いているか(符号付きの距離)を表す。

• 今回の点: $\frac{0}{3}=0$ — 浮きゼロ、平面にぴったり乗っている
• たとえば $(1,1,1)$ なら: $\frac{1+2+2}{3}=\frac{5}{3}$ — 法線の向きに $\frac{5}{3}$ だけ浮いている

「平面上にあるか」の判定式は、距離の式の値が $0$ の場合だった。この読みができると、点と平面の距離の公式 $\frac{|\vec{n}\cdot \vec{p}+d|}{|\vec{n}|}$ が丸暗記でなく「法線方向の成分を測っているだけ」と腑に落ちる — 数IIの点と直線の距離と、まったく同じ構造である。