内積とベクトルの大きさ(空間)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「内積の性質を用いて」— 平面で練習した展開公式の空間版だ。式の形はまったく同じ。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$$

部品を $3$ 成分で計算する。$|\vec{a}{|}^2=1+4+4=9$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=2+0+2=4$、$|\vec{b}{|}^2=4+0+1=5$。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+8+5=22$$

展開公式は次元を選ばない — それを体で確かめる問題である。

① 各量を求める。 $|\vec{a}{|}^2=1+4+4=9$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 2+2\cdot 0+2\cdot 1=4$、$|\vec{b}{|}^2=4+0+1=5$。

② 展開公式に代入する。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+2\times 4+5=9+8+5=22$$

(確認:$\vec{a}+\vec{b}=(3,2,3)$、$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+4+9=22$。)

まとめ:$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ の展開公式は空間でも同じ。$3$ 成分で内積・大きさを計算するだけ。$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ のベクトル版。

発展 — 一歩先へ。 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=22$ と $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2=14$ の差 $8=2\vec{a}\cdot \vec{b}$ — 内積が正だから、$2$ 本は「鋭角をなす(同じ向き寄り)」で、和の長さが単純合算($\sqrt{9}+\sqrt{5}\approx 5.24$)より短いながら($\sqrt{22}\approx 4.69$)、三平方の $\sqrt{14}\approx 3.74$ よりは長い。$|\vec{a}+\vec{b}|$ は内積の符号次第で $||\vec{a}|-|\vec{b}||$ から $|\vec{a}|+|\vec{b}|$ まで動く — 三角不等式の等号条件(平行)まで、この展開式 $1$ 本から読み取れる。

展開公式・余弦定理・三角不等式 — 平面で学んだ関係は、成分の個数を問わずすべて成立する。「ベクトルの代数は次元を忘れてよい」が空間ベクトル最大の福音である。

別解

成分が与えられているのだから、先に足してから測る直行ルートで検算できる。

$$\vec{a}+\vec{b}=(1+2,2+0,2+1)=(3,2,3)$$

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+4+9=22$$

展開公式と同じ答え — $2$ つの道が同じ場所に着くことが、公式の分配法則の数値実証になっている。

おまけの観察をひとつ。$|\vec{a}{|}^2=9$ は $\vec{a}=(1,2,2)$ が長さ $3$ の整数ベクトルであることを言っている($1^2+2^2+2^2=3^2$)。$(1,2,2)$ や $(2,3,6)$(長さ $7$)のような「$3$ つの $2$ 乗和が平方数」になる組は、ピタゴラス数の $3$ 次元版として問題作りに好んで使われる — 見かけたら暗算が速くなる。

成分ルートが使えるのに公式ルートが問われるのは、成分のない抽象問題($|\vec{a}|,|\vec{b}|,\vec{a}\cdot \vec{b}$ だけ与えられる型)への備え。両方の道を持ち、照合する — 平面のときと同じ学び方が、そのまま空間でも正解である。