点と平面の距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平面は、原点を通り法線 $\vec{n}$ に垂直な「かべ」。点 $\mathrm{P}$ からの距離は、$\mathrm{P}$ が $\vec{n}$ の向きにどれだけ離れているかで決まる。

つまり距離は、$\overrightarrow{OP}$ を法線 $\vec{n}$ の向きに射影した長さ $\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{OP}|}{|\vec{n}|}$ だ。

「距離=法線方向への射影の長さ」という、内積(射影)を使った発想が核になる。

① まず、距離とは何かを絵で考える。 平面は原点 $\mathrm{O}$ を通り、法線 $\vec{n}$ に垂直な「かべ」。点 $\mathrm{P}$ からこのかべまでの距離は、$\mathrm{P}$ が $\vec{n}$ の向きにどれだけ離れているか、つまり $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\vec{n}$ の向きへ射影した長さだ。

② その「射影の長さ」を、内積で取り出す。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\vec{n}$ のなす角を $\theta$ とすると、射影の長さは $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\cos \theta$。一方、内積は $\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=|\vec{n}||\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\cos \theta$。見比べると、内積は「射影の長さ」を $|\vec{n}|$ 倍したものだと分かる。だから内積を $|\vec{n}|$ で割れば、射影の長さ＝求める距離になる。

$$\text{距離}=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\vec{n}|}(\text{絶対値は、}\mathrm{P}\text{ が平面のどちら側でも距離は正だから})$$

③ では内積を計算する。 内積は成分どうしをかけて足すだけ。$\vec{n}=(1,2,2)$、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1,2,3)$ だから

$$\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=1\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 3=1+4+6=11$$

④ $|\vec{n}|$ で割る。 法線の大きさは $|\vec{n}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$。よって

$$\text{距離}=\frac{|11|}{3}=\frac{11}{3}$$

まとめ:点と平面の距離は「$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を法線 $\vec{n}$ の向きに射影した長さ」。内積 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$ はその長さを $|\vec{n}|$ 倍した値なので、$|\vec{n}|$ で割れば距離になる、という仕組みだ。これは平面 $x+2y+2z=0$ と点 $(1,2,3)$ の距離公式 $\frac{|1+4+6|}{\sqrt{1+4+4}}$ と全く同じ計算になっている。

発展 — 一歩先へ。 距離の公式で絶対値を外した $\vec{n}\cdot \overrightarrow{OP}$(この問題では $11$)は、符号まで含めて意味を持つ。正なら $\mathrm{P}$ は法線 $\vec{n}$ が向く側、負なら反対側、$0$ なら平面の上だ。

だから $1$ つの平面は、空間を $\vec{n}\cdot \overrightarrow{OP}>0$ の側と $<0$ の側の $2$ つの半空間に切り分ける。いまは $\vec{n}\cdot \overrightarrow{OP}=11>0$ だから、$\mathrm{P}$ は法線の向く側にいると分かる。

「絶対値をとる前の値」は、距離だけでなく向き(どちら側か)も運んでいる。この符号つきの見方は、不等式の表す領域を調べるときや、線形計画法で空間を半空間へ分けるときに効いてくる。

別解

別解 — 平行な平面のものさしで測る(苦手な人向けの視覚ルート)。 $x+2y+2z$ の値を $k$ とすると、$k$ を変えるごとに $x+2y+2z=k$ という平面が、もとの平面 $x+2y+2z=0$ と平行に並ぶ。等間隔にずれた「ものさしの目盛り」だ。

目盛り $k$ が $1$ 増えるごとに、平面は法線方向へ $\frac{1}{|\vec{n}|}=\frac{1}{3}$ ずつ進む。法線 $\vec{n}=(1,2,2)$ の大きさが $3$ だからだ。

点 $\mathrm{P}(1,2,3)$ を代入すると $x+2y+2z=1+4+6=11$。$\mathrm{P}$ は目盛り $k=11$ の平面の上にいる。求める平面は $k=0$ の目盛り。

$$\text{距離}=11\times \frac{1}{3}=\frac{11}{3}.$$

目盛り $11$ 個ぶんで、$1$ 目盛りが $\frac{1}{3}$、というわけだ。射影で求める本解と同じ。平行な平面を「等間隔のものさし」と見ると、代入した値そのものが目盛りの番号になる。