球面の方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 球面とは「中心からの距離が半径に等しい点の集まり」。この日本語を式にしたのが

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$$

(左辺は距離の $2$ 乗 — 円の方程式に $z$ の項が $1$ つ増えた形。)中心 $(1,2,3)$、半径 $5$ を入れて

$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$$

点が球面上かどうかは、座標を左辺に代入して $25$ になるかを見ればよい。$(1,2,8)$ では $0+0+25=25$ — 球面上にある。

① 球面の方程式を書く。

$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$$

② 点を代入して調べる。 $(1,2,8)$ を左辺に。

$$(1-1{)}^2+(2-2{)}^2+(8-3{)}^2=0+0+25=25$$

左辺 $=25=r^2$ なので、点 $(1,2,8)$ は球面上にある。

まとめ:球面は円の空間版。$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$。点が球面上かは代入して左辺 $=r^2$ かで判定。$<r^2$ なら内部、$>r^2$ なら外部。円の方程式に $z$ の項が加わっただけだ。

発展 — 一歩先へ。 ベクトルの言葉では球面は $|\vec{p}-\vec{c}|=r$ — 円と全く同じ式で、次元の情報は式に現れない。「中心からの距離一定」という定義が次元を選ばないからだ($2$ 次元で円、$3$ 次元で球面、$4$ 次元なら超球面)。

展開した一般形 $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ から中心・半径を復元する(平方完成)、球面と平面の交わりが円になる、など円の単元の議論はほぼ全て球面に持ち上がる — 「円で学んだことの $z$ 込みの再演」として整理すると、この分野の学習は速い。

別解

方程式に代入する代わりに、距離をそのまま測る方が意味が直接的だ。

中心 $\mathrm{C}(1,2,3)$ から点 $(1,2,8)$ まで、$3$ 方向の移動量は $(0,0,5)$ — $x,y$ は動かず、真上に $5$ だけ登った点だ。距離は

$$\sqrt{0^2+0^2+5^2}=5=r$$

半径ちょうど — 球面上にある($(1,2,8)$ は球の「北極点」だ)。

「方程式に代入して $25$ になる」ことと「距離を測って $5$ になる」ことは、同じ検査の $2$ つの書き方($2$ 乗するかしないか)にすぎない。距離で見ると、判定の結果が位置の言葉で読める —

• 距離 $<r$: 球の内部
• 距離 $=r$: 球面上
• 距離 $>r$: 球の外部

方程式の左辺の値($25$ との大小)が、そのまま内外の判定になる理由もここから分かる。「式 $=$ 距離の言い換え」という目は、球と平面・球と直線の位置関係の問題で羅針盤になる。