四面体の体積と内接球の半径(スカラー三重積)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 体積はスカラー三重積で一発。$V=\frac{1}{6}|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|$ に $\vec{a}=(1,0,0)$ 等を入れると $\frac{1}{6}$。

内接球の半径は、体積と表面積を結ぶ関係 $V=\frac{1}{3}Sr$(全体を「各面 $\times$ 内接球中心」の小四面体に分けた和)から $r=\frac{3V}{S}$。

表面積 $S$ は $4$ つの三角形の和。$3$ つは直角二等辺三角形、$1$ つは正三角形(辺 $\sqrt{2}$)だ。

① 体積。 $\vec{a}=(1,0,0),\vec{b}=(0,1,0),\vec{c}=(0,0,1)$。$\vec{b}\times \vec{c}=(1,0,0)$、$\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})=1$。よって $V=\frac{1}{6}$。

② 表面積。 $\mathrm{OAB},\mathrm{OBC},\mathrm{OCA}$ は直角をはさむ $2$ 辺が $1$ の直角三角形で面積 $\frac{1}{2}$ ずつ。面 $\mathrm{ABC}$ は $1$ 辺 $\sqrt{2}$ の正三角形で面積 $\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$。よって $$S=3\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}.$$ ③ 内接球の半径。 $$r=\frac{3V}{S}=\frac{3\cdot \frac{1}{6}}{\frac{3+\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3+\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3+\sqrt{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{3-\sqrt{3}}{6}.$$

まとめ 体積は三重積で $\frac{1}{6}$。内接球は四面体を内心から $4$ 分割して $V=\frac{1}{3}Sr$、$r=\frac{3V}{S}=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$。空間ベクトル(三重積・面積)と内接球の融合。

発展 — 一歩先へ。 $r=\frac{3V}{S}$ は、$2$ 次元の $r=\frac{2S}{L}$(三角形の内接円、$L$ は周)の立体版。次元 $n$ では $r=\frac{n\cdot (\text{体積})}{(\text{表面積})}$。図形を「中心と各面の錐体」に分けて体積を足す、という同じ発想が、あらゆる次元で内接球(円)の半径を与える。

別解

別解 — 内接球の中心を対称性で $(r,r,r)$ とおく(得意な人向けの視点)。 この四面体は $x,y,z$ を入れ替えても不変(対称)だから、内接球の中心も $(r,r,r)$ の形。中心から $3$ つの座標平面($x=0$ など)までの距離は、どれも $r$。だから半径は $r$ でつじつまが合う。

あとは斜めの面 $x+y+z=1$ までの距離も $r$ になればよい。点 $(r,r,r)$ からこの平面までの距離は

$$\frac{|r+r+r-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1-3r}{\sqrt{3}}=r.$$

($3r<1$ なので絶対値の中は正。)これを解くと $1-3r=\sqrt{3}r$、$r=\frac{1}{3+\sqrt{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$。

体積 $÷$ 表面積(本解)を計算せず、「対称性で中心を $(r,r,r)$ と決め打ち → 斜面までの距離 $=r$」の1式で $r$ が出る。対称性は、未知数を減らす最強の道具だ。